To je prva monografija, ki obravnava analizo nelinearnih problemov, ki jih opišejo parcialne diferencialne enačbe z variabilnim eksponentom in nehomogeni diferencialni operatorji. Ta analiza je bila razvita z uporabo variacijskih in topoloških metod. Avtorja se ukvarjata z mnogimi problem, ki so izredno zanimivi za matematike in fizike. Ozremo se le na spektralno analizo prirejenih diferencialnih operatorjev. Zaradi prisotnosti nestandardnih nelinearnih členov avtorja poudarita mnoge presenetljive pojave, kot so koncentracijske lastnosti spektra. Pokazano je, da spekter ni več diskreten (kot je za standardni Laplaceov operator) in zvezni specter se lahko pojavi ali v bližini izhodišča ali v neskončnosti. Avtorja te monografije tudi razdelata splošne metode za bifurkacijsko analizo rešitev, študij diskretnih anizotropnih problemov z variabilnim eksponentom itd. Monografija v glavnem temelji na originalnih rezultatov avtorjev na tem področju, a tudi nekaj pomembnih recentnih rezultatov drugih avtorjev je dodanih v tem delu. Študij tega področja je postal v zadnjem desetletju ekstremno aktiven zaradi več močnih aplikacij modelov z variabilnimi eksponenti na konkretne problem pri elektroreoloških in termoreoloških tekočinah, robotiki in rekonstrukciji slike.
COBISS.SI-ID: 17325401
Solenoid je inverzna limita krožnic. Kadar je solenoid vložen v 3-dimenzionalni prostor, je njegov komplement odprta 3-mnogoterost. Obravnavamo geometrijo in fundamentalne grupe takih mnogoterosti in dokažemo, da imajo komplementi različnih solenoidov (ki nastanejo kot inverzne limite različnih zaporedij) različne fundamentalne grupe. Posebej so najlepše vložitve nezavozlane na vsakem nivoju in dajejo abelove fundamentalne grupe, medtem ko pri drugih vložitvah dobimo neabelove fundamentalne grupe. Z uporabo geometrije dokažemo, da ima vsak solenoid neštevno različnih vložitev z nehomeomorfnimi komplementi.
COBISS.SI-ID: 17540697
Opišemo novo metodo za vlakensko razširitev danega endofunktorja s kategorije topoloških prostorov z izhodiščem do endofunktorja na kategoriji vlakenskih prostorov z izhodiščem. Izpeljemo osnovne lastnosti metode in jo uporabimo za konstrukcijo Whitehead-Ganejeve strukture za vlakensko Lusternik-Schnirelmannovo kategorijo in topološko kompleksnost.
COBISS.SI-ID: 17282649
Članek obravnava perturbacijo problema lastnih vrednosti p-Laplaceovega operatorja na poljubni odprti množici evklidskega prostora. Glavne vsebine članka so: (i) prisotnost singularnega nedoločenega potenciala; (ii) vpliv kritične nelinearnosti (v Soboljevem smislu) in relacija s subkritičnim členom; (iii) možna odsotnost kompaktnosti problema; (iv) analiza izvedena v tem članku je razvita v relaciji z ustreznim nelinearnim problemom lastnih vrednosti. Obravnavani so večkratni perturbacijski efekti zaradi prisotnosti raznih tipov nelinearnosti, potencialnih členov in realnega parametra. Proučevani problem je soroden klasičnemu Brezis-Nirenbergovemu problemu kritičnega eksponenta. Glavni rezultat potrjuje eksistenco vsaj ene netrivialne rešitve za vse parametre manjših od neke meje. Dokaz kombinira variacijska in analitična orodja kot so Hardyjeva neenakost in nedavno dokazana koncentracijsko-kompaktnostna lema za singularne probleme. Metode razvite v tem članku se lahko razširijo na razne razrede nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb vključno s problemi z variabilnim eksponentom ali s poliharmoničnimi operatorji. Ta članek je izšel v reviji, ki se nahaja blizu vrha SCI seznama vseh matematičnih revij. O teh rezultatih smo že odmevno poročali na mednarodnih konferencah v EU in naleteli na izjemno zanimanje strokovnjakov iz tega področja nelinearne analize.
COBISS.SI-ID: 17086297
Ekelandov variacijski princip je eno najmočnejših orodij nelinearne analize. Grobo rečeno ta rezultat razširi Fermatov izrek na neskončno dimenzionalno situacijo. Pomembna vloga Ekelandovega variacijskega principa je v tem, da potrdi obstoj “skoraj kritičnih točk”. Ta lastnost kombinirana z ustreznim pogojem kompaktnosti (navadno Palais-Smaleovega tipa) implicira obstoj šibkih rešitev za široke razrede nelinearnih problemov z variacijsko strukturo. To se navadno naredi z uporabo zahtevnih variacijskih rezultatov kot so izrek o gorskem prelazu, izreki spletnega tipa in drugi. V pričujočem članku se avtorji ukvarjajo z uporabo variacijskih principov Ekelandovega tipa v matematični analizi ravnovesnih problemov. Ti problem imajo mnogo aplikacij na raznih področjih, kot so teorija iger in matematična fizika. Osrednja uporaba teh problemov je Nashevo ravnovesje, kar ilustriramo tudi v tem članku. Eden od avtorjev (V. Radulescu) ima z Academic Press podpisano pogodbo za oddajo monografije o matematične analize ravnovesnih problemov do junija 2017 za objavo v seriji Mathematics in Science and Engineering book series.
COBISS.SI-ID: 17204569