Solenoid je inverzna limita krožnic. Kadar je solenoid vložen v 3-dimenzionalni prostor, je njegov komplement odprta 3-mnogoterost. Obravnavamo geometrijo in fundamentalne grupe takih mnogoterosti in dokažemo, da imajo komplementi različnih solenoidov (ki nastanejo kot inverzne limite različnih zaporedij) različne fundamentalne grupe. Posebej so najlepše vložitve nezavozlane na vsakem nivoju in dajejo abelove fundamentalne grupe, medtem ko pri drugih vložitvah dobimo neabelove fundamentalne grupe. Z uporabo geometrije dokažemo, da ima vsak solenoid neštevno različnih vložitev z nehomeomorfnimi komplementi.
COBISS.SI-ID: 17540697
Tu se dokaže karakterizacijski izrek o obstoju ene neničelne krepke rešitve eliptične enačbe definirane na preprogi Sierpi´nskega. Splošneje se lahko veljavnost našega izreka preveri s študijem eliptičnih enačb na samopodobnih fraktalnih domenah, katerih spektralna dimenzija je nizka. Ta izrek lahko smatramo kot eliptično verzijo na fraktalnih domenah nedavno dobljenega rezultata Riccerija za robne probleme z dvema točkama.
COBISS.SI-ID: 17334617
V zadnjih letih se velika pozornost osredotoča na študij frakcijskih in nelokalnih operatorjev eliptičnega tipa tako zaradi čistega matematičnega raziskovanja kot zaradi konkretne uporabe v realnem svetu. Frakcijski in nelokalni operatorji se pojavijo na mnogih področjih, kot so, med drugimi, optimizacija, finance, fazni prehodi, stratificirani materiali, anomalne difuzije, kristalne dislokacije, mehki tanki sloji, polprepustne membrane, razširjanje ognja, ohranitveni zakoni, ultrarelativistične limite v kvantni mehaniki, kvazigeostrofični tokovi, večkratno sipanje, minimalne ploskve, znanosti materialov in vodni valovi. To je eden od razlogov, zakaj se v zadnjem času nelokalni frakcijski problem široko obravnavajo v literature v zelo različnih kontekstih. V tem članku obravnavamo eksistenco neskončno mnogo šibkih rešitev za enačbe z nelokalnimi integro-diferencialnimi operatorji z Dirichletovimi homogenimi robnimi pogoji. Preučujemo različne predpostavke superlinearne rasti na nelinearnosti, začenši z znanim Ambrosetti-Rabinowitzevim pogojem. V tem okviru z uporabo izreka o vodnjaku pridobimo tri različne rezultate o obstoju neskončno mnogo šibkih rešitev za problem, ki ga obravnavamo. Vsi ti izreki razširijo nekatere klasične rezultate za semilinearne Laplaceove enačbe na nelokalno frakcijsko situacijo.
COBISS.SI-ID: 17328217