Jahn-Tellerjev izrek napoveduje spontano razbijanje simetrije in dvig degeneriranih elektronskih stanj nelinearnih molekularnih sistemov. V takih primerih se to zgodi zaradi geometrijskega popačenja. Molekularni problemi so pogosto modelirani s spektralno teorijo za obtežene grafe. Pričujoči prispevek obrne proces v nasprotno smer in na novo formulira Jahn-Tellerjev izrek za splošne utežene grafe. Če razumemo lastne vektorje kot orbitale, lastne vrednosti pa kot energijske nivoje, ki naj bi jih zasedli elektroni, tedaj je mogoče degeneracijo stanj razrešiti z ne popolnoma simetrično porazdelitvijo uteži na povezavah in, če je potrebno tudi na vozliščih grafa. V tej zvezi je postavljena tudi zanimiva domneva. Posebej sta obravnavana dva primera (graf oktaedra in graf fenalenila) saj se pri njiju degeniranost pojavlja zaradi različnih razlogov.
COBISS.SI-ID: 16090457
Leta 1969 je Lovász postavil vprašanje, ali ima vsak končen, povezan točkovno-tranzitiven graf Hamiltonovo pot. Kljub enostavni formulaciji, do sedaj ni bil dosežen kak večji preboj in sedaj je splošno sprejeto, da gre za težek problem. Enako velja za poseben podrazred Cayleyevih grafov, kjer je postavljena domneva o obstoju Hamiltonovih ciklov. Leta 2007 sta Glover in Marušič dokazala, da ima Cayleyev kubični graf za končno $ (2, i, 3) $-generirano grupo $G = \ langle, x | ^ 2 = x ^ y = (ax) ^ 3 = 1, \ dots \ rangle $ ? Hamiltonsko pot, če je $ | G | $ kongruentna 0 po modulu 4, in ima Hamiltonski cikel, če je $ |G| $ kongurentna 2 po modulu 4. Konstruiran je bil Hamiltonov ciklel na osnovi kombinacije teorije Cayleyevih zemljevidov s klasičnimi rezultati o ciklični stabilnosti v kubičnih grafih, in sicer kot v točko stisljiv rob drevesa lic pripadajočega Cayleyevega zemljevida. Z posplošitvijo teh motod so Glover, Kutnar in Marušič v letu 2009 razrešili še primer, ko je poleg $ | G | $ še $s$ kongruenten 0 po modulu 4. V tem članku je z dodatno razširitvijo pristopa z "drevesom lic" dokazano, da ostaja Hamiltonov cikel tudi ko je $ | G | $ kongruentna 0 po modulu 4 in je $s$ lih. S tem ostane kot edini odprt primer še, ko je $ | G | $ kongruentna 0 po modulu 4 in je $s$ kongruentno 2 po modulu 4. V tem zadnjem primeru pristop preko "drevesa lic" ni mogoče uporabiti in tako bo za dokončanje dokaza o obstoju Hamiltonovih ciklov v kubičnih Cayleyevih grafih, ki izhajajo iz končnih ? $ (2, i, 3) $-generiranih grup, potrebno uporabiti popolnoma nove in drugačne metode.
COBISS.SI-ID: 1024390740
Polinomsko interpolacijo lahko uporabljamo za iskanje zaključenih formul za topološke indekse neskončnih družin molekularnih grafov. V članku so predstavljene prednosti in slabosti te metode. Teorija je ilustrirana na fulerenih ▫$C_{12k+4}$▫ in štirih topoloških indeksih: Wienerjevemu indeksu, povezavno Wienerjevemu indeksu, indeksu ekscentrične povezanosti in obratnemu Wienerjevemu indeksu. Rezultati o povezavno Wienerjevemu indeksu popravijo prejšnje izračune iz literature. Pripadajoče formule so izpeljane tudi za ciklične fenilene.
COBISS.SI-ID: 16309593