Leta 1969 je Lovász postavil vprašanje, ali ima vsak končen, povezan točkovno-tranzitiven graf Hamiltonovo pot. Kljub enostavni formulaciji, do sedaj ni bil dosežen kak večji preboj in sedaj je splošno sprejeto, da gre za težek problem. Enako velja za poseben podrazred Cayleyevih grafov, kjer je postavljena domneva o obstoju Hamiltonovih ciklov. Leta 2007 sta Glover in Marušič dokazala, da ima Cayleyev kubični graf za končno $ (2, i, 3) $-generirano grupo $G = \ langle, x | ^ 2 = x ^ y = (ax) ^ 3 = 1, \ dots \ rangle $ ? Hamiltonsko pot, če je $ | G | $ kongruentna 0 po modulu 4, in ima Hamiltonski cikel, če je $ |G| $ kongurentna 2 po modulu 4. Konstruiran je bil Hamiltonov ciklel na osnovi kombinacije teorije Cayleyevih zemljevidov s klasičnimi rezultati o ciklični stabilnosti v kubičnih grafih, in sicer kot v točko stisljiv rob drevesa lic pripadajočega Cayleyevega zemljevida. Z posplošitvijo teh motod so Glover, Kutnar in Marušič v letu 2009 razrešili še primer, ko je poleg $ | G | $ še $s$ kongruenten 0 po modulu 4. V tem članku je z dodatno razširitvijo pristopa z "drevesom lic" dokazano, da ostaja Hamiltonov cikel tudi ko je $ | G | $ kongruentna 0 po modulu 4 in je $s$ lih. S tem ostane kot edini odprt primer še, ko je $ | G | $ kongruentna 0 po modulu 4 in je $s$ kongruentno 2 po modulu 4. V tem zadnjem primeru pristop preko "drevesa lic" ni mogoče uporabiti in tako bo za dokončanje dokaza o obstoju Hamiltonovih ciklov v kubičnih Cayleyevih grafih, ki izhajajo iz končnih ? $ (2, i, 3) $-generiranih grup, potrebno uporabiti popolnoma nove in drugačne metode.
COBISS.SI-ID: 1024390740
V članku pakažemo, da lahko bibliografske podatke pretvorimo v nabor usklajenih omrežij. Z množenjem omrežij lahko iz njih pridobimo več zanimivih izpeljanih omrežij. Pri njihovi definiciji je potrebno upoštevati ustrezno normalizacijo. Predstavljeni pristop je uporaben tudi za podobne nabore usklajenih omrežij z drugih področij. Omrežja, pridobljena iz bibliografskih podatkovij, so lahko (zelo) velika (na sto tisoče vozlišč). K sreči so redka in jih za to še vedno lahko obdelamo razmeroma hitro. V članku damo odgovor na vprašanje: kdaj je zmnožek dveh redkih omrežij tudi sam redko omrežje. Predlagani pristopi so prikazani z analizo nabora omrežij na temo "social networks", pridobljenih iz Web of Science. Dela z velikim številom avtorjev dodajo običajnemu omrežju sodelovanj velike polne podgrafe in tako zameglijo sliko o sodelovanjih. Pokažemo, da lahko z ustrezno normalizacijo njihov učinek pridušimo. Med drugim vpeljemo mero sodelovalnosti avtorjev glede na dano bibliografijo in pokažemo, kako lahko izračunamo omrežje sklicevanj med avtorji in razkrijemo skupine glede na sklicevanje.
COBISS.SI-ID: 16739929
Jahn-Tellerjev izrek napoveduje spontano razbijanje simetrije in dvig degeneriranih elektronskih stanj nelinearnih molekularnih sistemov. V takih primerih se to zgodi zaradi geometrijskega popačenja. Molekularni problemi so pogosto modelirani s spektralno teorijo za obtežene grafe. Pričujoči prispevek obrne proces v nasprotno smer in na novo formulira Jahn-Tellerjev izrek za splošne utežene grafe. Če razumemo lastne vektorje kot orbitale, lastne vrednosti pa kot energijske nivoje, ki naj bi jih zasedli elektroni, tedaj je mogoče degeneracijo stanj razrešiti z ne popolnoma simetrično porazdelitvijo uteži na povezavah in, če je potrebno tudi na vozliščih grafa. V tej zvezi je postavljena tudi zanimiva domneva. Posebej sta obravnavana dva primera (graf oktaedra in graf fenalenila) saj se pri njiju degeniranost pojavlja zaradi različnih razlogov.
COBISS.SI-ID: 16090457
Grafi Sierpińskega $S_p^n$ tvorijo intenzivno raziskovano družino grafov fraktalne narave. Uporabni so v topologiji, matematiki Hanojskega stolpa, računalništvu, ter drugod. V članku vpeljemo skoraj-ekstremna vozlišča grafa $S_p^n$ kot vozlišča, ki so bodisi sosedna z nekim ekstremnim vozliščem, ali pa so incidenčna povezavi med dvema podgrafoma izomorfnima $S_p^{n-1}$. Podane so eksplicitne formule za razdalje v $S_p^{n}$ med poljubnim vozliščem in skoraj-ekstremnim vozliščem. Formule so uporabljene za izračun celotne razdalje skoraj-ekstremnih vozlišč in za določitev metrične dimenzije grafov Sierpińskega.
COBISS.SI-ID: 16582233
Grafu X rečemo da je G-pol-ločno tranzitiven, če G⩽Aut(X) deluje tranzitivno na množici vozlišč grafa X in na množici povezav grafa X, ampak ne deluje tranzitivno na množici lokov X. Take grafe lahko preučujemo preko t.i. alter-mrež (ang. alternet), to so ekvivalenčni razredi po relaciji dosegljivosti, ki je bila prvič predstavljena s strani avtorjev Cameron, Praeger in Wormald (1993). Če množici vozlišč dveh sosednjih alternetov bodisi sovpadata ali se sekata v polovici vozlišč pravimo, da je graf tesno spet. V članku preučujemo grafe z pol-ločno-tranzitivnim delovanjem grupe z največ pet alter-mrež. Če je število alter-mrež največ tri, pokažemo da je graf nujno testno spet. A obstajajo grafi z štirimi in petimi alter-mrežami, ki niso tesno speti. Vse te posebne grafe lahko razčlenimo ki jih lahko razčlenimo na particijo, ki nam da grafa R6(5,4)R6(5,4) ("Rose window" graf) ter poseben graf na 20 vozliščih v primeru petih alter-mrež.
COBISS.SI-ID: 1536241092