Na tem plenarnem enournem vabljenem predavanju na mednarodni konferenci v Odesi, posvečeni novim rezultatom v geometriji in topologiji, je bilo predstavljeno najnovejše delo naše projektne skupine na tem projektu in naši najpomembnejši doseženi rezultati.
B.04 Vabljeno predavanje
COBISS.SI-ID: 16311641To je bil kolokvij na Brandeis University v Bostonu, ZDA. Predstavljeni so bili glavni dosežki naše projektne skupine iz nizkodimenzionalne geometrijske topologije.
B.05 Gostujoči profesor na inštitutu/univerzi
COBISS.SI-ID: 16317785Vozli so bili do sedaj klasificirani le za peščico prostorov: 3-dimenzionalni evklidski prostor, projektivni prostor in poln torus, kjer so bili vozli v slednjem klasificirani le do tako imenovanega obrata torusa. S to disertacijo na ta skromni seznam dodamo tudi lecasti prostor L(p, q). Kot stranski produkt te klasifikacije vozle v polnem torusu popolnoma klasificiramo, poleg tega pa ugotovimo tudi, kateri od teh vozlov so akiralni. V obeh primerih klasificiramo vozle do štirih križišč in do petih križišč z nekaj izjemami. Vidimo, da za vsak lečasti prostor obstaja podmnožica pravozlov v polnem torusu, ki predstavlja klasifikacijo vozlov v tem lečastem prostoru. Da lahko uspešno klasificiramo vozle v lečastih prostorih, moramo pred tem izdelati dovolj močne invariante vozlov. Kot prvo invarianto vpeljemo HOMFLYPT premenjalni modul. Do sedaj je bil HOMFLYPT premenjalni modul izračunan samo za prostora S^3 in polni torus S^1 \times D. Dokažemo, da je HOMFLYPT premenjalni modul prostora L(p, 1) prost, pri predstavimo bazo za vsak p ) 1. Druga invarianta je homologija Hovanova Kauffmanovega oklepajskega premenjalnega modula prostora \mathbb{R}P^3. Homologija Hovanova je stopničasta homološka teorija, ki kategorificira Jonesov polinom v smislu, da je Eulerjeva karakteristika homologije enaka Jonesovimu polinomu. Asaeda, Przytycki in Sikora so to homološko teorijo posplošili tako, da so uvedli dvojnostopničasto homološko teorijo, ki kategorificira Kauffmanov oklepajski premenjalni modul I-svežnjev nad ploskvami. Zaradi nenavadnega obnašanja spletov, ki jih projiciramo na neorientabilno ploskev \mathbb{R}P^2, teorija odpove pri zvitem I-svežnju \mathbb{R}P^2 \widetilde{\times} I \approx \mathbb{R}P^3 \setminus \{\ast\}. Pokažemo, da je diferencial v Hovanovem verižnem kompleksu mogoce ustrezno popraviti, da teorija deluje tudi za projektivni prostor. Za klasifikacijo, za izračun HOMFLYPT premenjalnih modulov vozlov in za izračun Kauffmanovih oklepajskih premenjalnih modulov vozlov, smo napisali računalniški program.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 16639833Številna vprašanja v CAT(0) geometriji izvirajo iz izrekov o Riemannovih mnogoterostih nepozitivnih prereznih ukrivljenosti. V disertaciji se ukvarjamo z enim izmed njih, s problemom periodičnih ravnin. V kontekstu realnih analitičnih mnogoterosti sta ga rešila Bangert in Schröder, [V Bangert, v Schröder, Existence of flat tori in analytic manifolds of nonpositive curvature. Ann. Sci. École Norm. Sup. 24 (1992), no. 4 pp. 605-634]. Problem sprašuje, ali vedno lahko najdemo kopijo proste abelove grupe \mathbb{Z}^m v grupi, ki deluje kokompaktno diskretno z izometrijami na CAT(0) prostoru X, ki vsebuje izometrično vloženo kopijo \mathbb{R}^m. V uvodnih poglavjih povzamemo dognanja iz del [P.-E. Caprace, N. Monod, Isometry groups of non-positively curved spaces: structure theory. J. Topol. 2 (2009), no. 4, pp. 661-700 in P.-E. Caprace, N. Monod, Isometry groups of non-positively curved spaces: discrete subgroups. J. Topol. 2 (2009), no. 4, pp. 701-746] o celotni grupi izometrij pravega kokompaktnega geodezično polnega CAT(0) prostora. Nato ta dognanja uporabimo v dokazu glavnega izreka iz [P.-E. Caprace, G. Zadnik, Regular elements in CAT(0) groups. Preprint at http://arXiv.org/abs/1112.4637 (2011)], ki poda delni odgovor na problem periodičnih ravnin: "Naj bo parvi CAT(0) prostor X produkt m geodezicno polnih faktorjev. Tedaj poljubna grupa \Gamma, ki deluje kokompaktno diskretno z izometrijami na X, vsebuje kopijo \mathbb{Z}^m." Čeprav predpostavke zapisanega izreka močno posežejo v splošnost problema periodičnih ravnin, so za njegov dokaz potrebni globoki izreki iz strukturne teorije grupe izometrij dotičnega CAT(0) prostora. Za dokaz ključna je rešitev Hilbertovega petega problema (izrek Gleason, Montgomery-Zippin), ki zagotavlja dihotomojo za grupe izometrij določenih CAT(0) prostorov. Bodisi je grupa izometrij Liejeva bodisi je popolnoma nepovezana lokalno kompaktna topološka grupa. Glede na to dihotomijo se dokaz izreka razdeli na dva dela. Prvi del sledi iz znanih izrekov iz teorije Liejevih grup, med tem ko se drugi del sklicuje na geometrijo CAT(0) prostora s popolnoma nepovezano grupo izometrij, [P.-E. Caprace, N. Monod, Isometry groups of non-positively curved spaces: structure theory. J. Topol. 2 (2009), no. 4, pp. 661-700].
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 16941401Zanimajo nas konfiguracije ploskev znotraj 4-razsežnih mnogoterosti. Za sklenjeno gladko povezano 4-mnogoterost X želimo dani nabor homoloških razredov C \subset H_2(X) predstaviti s čim enostavnejšo konfiguracijo ploskev v X. Regularna okolica take konfiguracije je navzkrižni zlepek disk svežnjev nad ploskvami. Število geometričnih presečišč dveh ploskev narekuje število navzkrižnih lepljenj ustreznih disk svežnjev. Navzkrižni zlepek lahko predstavimo s Kirbyjevim diagramom, ki narekuje konstrukcijo robu navzkrižnega zlepka s pomočjo kirurgije. Obravnavamo dvakratni navzkrižni zlepek N dveh disk svežnjev nad sferama z Eulerjevima številoma m in n. 4-mnogoterost N predstavimo s Kirbyjevim diagramom. Nato s kirurgijo izpeljemo Heegaardov diagram robne 3-mnogoterosti Y = \partial N. Izracunamo Heegaard-Floerovo homologijo \widehat{HF}(Y; \mathfrak{s}) v vseh torzijskih Spin^c strukturah \mathfrak{s} \in Spin^c(Y). Absolutno stopničenje homologije izračunamo s pomočjo kobordizma od Y do znane 3-mnogoterosti L(m; 1)\# S_1 \times S^2. Dobljene korekcijske člene mnogoterosti Y uporabimo pri iskanju ovir za obstoj dvakratnega navzkrižnega zlepka N znotraj 4-mnogoterosti X z b^+_2(X) = 2. S podobno metodo obravnavamo še enkratne navzkrižne zlepke disk svežnjev nad sferama znotraj izbranih sklenjenih 4-mnogoterosti.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 17052761