Pojav kvantne lokalizacije v klasično kaotičnih lastnih stanjih je eden od glavnih tem v kvantnem kaosu (ali valovnem kaosu), in torej igra pomembno vlogo v splošni kvantni mehaniki ali celo v splošni valovni mehaniki. V tem delu predlagamo dve različni meri lokalizacije, ki karakterizirajo stopnjo kvantne lokalizacije, in proučujemo njuno povezavo z drugim temeljnim aspektom kvantnega kaosa, namreč (energijsko) spektralno statistiko. Naš pristop in metoda sta povsem splošna, in uporabimo ju v biljardnih sistemih. Eden od značilnosti lokalizacije kaotičnih lastnih stanj je ulomljeno potenčno odbijanje med sosednjimi energijskimi nivoji v smislu, da je verjetnostna gostota najti dva sosednja nivoja na razdalji S potenca S z eksponentom beta, kjer je beta med 0 in 1, in beta=1 ustreza povsem razširjenim (nelokaliziranim) stanjem. Pokažemo, da obstaja jasna funkcionalna odvisnost med eksponentom beta in obema, sicer različnima, lokalizacijskima merama. Prva sloni na informacijski entropiji in druga na korelacijskih lastnostih Husimijevih funkcij. Pokažemo, da sta obe definiciji linearno ekvivalentni. Pristop uporabimo na primeru biljarda mešanega tipa [M. Robnik, J. Phys. A: Math. Gen. 16, 3971 (1983)], kjer izvedemo separacijo regularnih in kaotičnih lastnih stanj.
COBISS.SI-ID: 76225025
Proučujemo brcani rotor v klasično povsem kaotičnem režimu uporabljajoč Izrailevov N-dimenzionalni model za različne N(=4000, ki v limiti N--)oo teži k kvantnemu brcanemu rotorju. Obravnavamo ne le primer K=5, kot je bilo prej, temveč tudi številne druge vrednosti klasičnega parametra brcanja 5(=K(=35 in številne druge vrednosti kvantnega parametra 5(=k (=60. Opišemo lastnosti dinamične lokalizacije kaotičnih lastnih stanj kot paradigmo drugih časovno odvisnih ter časovno neodvisnih (avtonomnih) povsem kaotičnih hamiltonskih sistemov, ali pa sistemov mešanega tipa. Posplošimo skalirno spremenjljivko Lambda=l_oo/N za primer anomalne difuzije v klasičnem faznem prostoru z izpeljavo lokalizacijske dolžine l_oo za primer posplošene klasične difuzije. Bistveno izboljšamo natančnost ter statistično zanesljivost numeričnih računov, in pridemo do naslednjih zaključkov: (1) Porazdelitev razmikov med sosednjimi nivoji lastnih faz (ali kvazienergij) je zelo dobro opisana z Brodyjevo porazdelitvijo, sistematično bolje kakor z drugimi predlaganimi modeli, za različne Brodyjeve parametre beta_BR. (2) Proučujemo lastne funkcije Floquetovega operatorja in karakteriziramo njihove lokalizacijske lastnosti s pomočjo informacijsko entropijske mere, ki je po normiranju označena z beta_loc v intervalu {0,1}. Parameter odbijanja med nivoji beta_BR in beta_loc sta skoraj linearno povezana, blizu identitete. (3) Pokažemo obstoj skalirnega zakona med beta_loc in relativno lokalizacijsko mero Lambda, sedaj vključujoč režime anomalne difuzije. Ta spoznanja so pomembna tudi za kaotična lastna stanja v časovno neodvisnih sistemih [ Batistić and Robnik J. Phys. A: Math. Gen. 43 215101 (2010); arXiv:1302.7174 (2013)], kjer je Brodyjeva porazdelitev potrjena do zelo velike natančnosti za dinamično lokalizirana lastna stanja, celo v sistemih mešanega tipa (po separaciji regularnih in kaotičnih lastnih stanj).
COBISS.SI-ID: 74771713
Proučujemo kvantno mehaniko biljarda (Robnik 1983 J. Phys. A: Math. Gen. 16 3971) v režimu klasičnega faznega prostora mešanega tipa (parameter oblike lambda=0.15) pri zelo visokih energijah, začenši pri okoli 1.000.000tem stanju in vključujoč 587654 zaporednih lastnih stanj. Uporabimo normirane Poincare Husimijeve funkcije lastnih stanj in jih primerjamo s strukturo klasičnega faznega prostora, ter uvedemo kriterij prekrivanja, ki nam omogoči ločiti regularna in kaotična lastna stanja in njihove energije, z veliko natančnostjo in zanesljivostjo. Kaotična stanja so vsa lokalizirana, kar pomeni, da ne zasedajo vsega razpoložljivega območja klasičnega faznega prostora, temveč so lokalizirana na pravi podmnožici. Ugotovimo, z do sedaj nedosegljivo natančnostjo in statistično zanesljivostjo, da regularni nivoji sledijo Poissonovi statistiki, kaotična stanja pa Brodyjevi porazdelitvi, kot je bilo domnevano oziroma pričakovano v nedavnem članku Batistića in Robnika (2010 J. Phys. A: Math. Theor. 43 215101), kjer smo ugotivili, da celoten spekter zadošča Berry-Robnik-Brody statistiki. Pri tem nimamo efektov tuneliranja v tem režimu, saj le-ti pojemajo eksponentno z inverzno efektivno Planckovo konstanto, ki je proporcionalna kvadratnemu korenu energije.
COBISS.SI-ID: 75147009
Pokažemo, da so sosednji nivoji energije ali kvazienenergije v dinamično lokaliziranih kaotičnih lastnih stanjih odlično opisani s porazdelitvijo Brodyja, in izkazujejo ulomljeno potenčno odbijanje nivojev. To pokažemo v dveh paradigmatičnih sistemih, namreč za povsem kaotična lastna stanja brcanega rotorja pri K=7, in za kaotična lastna stanja v biljardnem sistemu mešanega tipa (Robnik 1983), potem ko smo ločili regularna in kaotična lastna stanja s pomočjo Poincare Husimijevih funkcij, pri zelo visokih energijah z veliko statistično zanesljivostjo (587654 lastnih stanj, začenši pri okoli 1000000 stanju nad osnovnim stanjem). Ta separacija potrjuje sliko Berryja-Robnika, in je izvedena prvič pri tako visokih energijah.
COBISS.SI-ID: 74806017
Izvedemo obširno in podrobno analizo posplošenih difuzijskih procesov v determinističnih preslikavah, ki ohranjajo površino, v nekompaktnem faznem prostoru, na primeru standardne preslikave, s posebnim poudarkom na razumevanju anomalne difuzije, ki se poraja zaradi akceleratorskih območij. Akceleratorska območja in njihova neposredna okolica so vzrok za balistični transport v faznem prostoru, pa tudi njihova širša okolica je pod njihovim precejšnjim vplivom (je povlečena za njimi), kar je vzrok ne-Gaussovi (pospešeni) difuziji. Sistematični pristop sloni na naslednjih aplikacijah: metoda GALI za detekcijo regularnih in kaotičnih območij in s tem za podroben opis strukture faznega prostora, opis porazdelitve impulza s pomočjo Levy stabilnih porazdelitev, in numerični izračun difuzijskega eksponenta ter pripadajoče difuzijske konstante. Ta pristop uporabimo za podrobno in sistematično analizo standardne preslikave za vse vrednosti parametra brcanja K, vse do K=70. Vse kompleksne lastnosti anomalne difuzije so dobro pojasnjene z vlogo akceleracijskih območij, v glavnem s periodo 1 za K večji od 2pi, pa tudi za višje periode (2,3,4,...) pri manjših vrednostih K, manjših od 2pi.
COBISS.SI-ID: 77280257