Jahn-Tellerjev izrek napoveduje spontano razbijanje simetrije in dvig degeneriranih elektronskih stanj nelinearnih molekularnih sistemov. V takih primerih se to zgodi zaradi geometrijskega popačenja. Molekularni problemi so pogosto modelirani s spektralno teorijo za obtežene grafe. Pričujoči prispevek obrne proces v nasprotno smer in na novo formulira Jahn-Tellerjev izrek za splošne utežene grafe. Če razumemo lastne vektorje kot orbitale, lastne vrednosti pa kot energijske nivoje, ki naj bi jih zasedli elektroni, tedaj je mogoče degeneracijo stanj razrešiti z ne popolnoma simetrično porazdelitvijo uteži na povezavah in, če je potrebno tudi na vozliščih grafa. V tej zvezi je postavljena tudi zanimiva domneva. Posebej sta obravnavana dva primera (graf oktaedra in graf fenalenila) saj se pri njiju degeniranost pojavlja zaradi različnih razlogov.
COBISS.SI-ID: 16090457
V članku pakažemo, da lahko bibliografske podatke pretvorimo v nabor usklajenih omrežij. Z množenjem omrežij lahko iz njih pridobimo več zanimivih izpeljanih omrežij. Pri njihovi definiciji je potrebno upoštevati ustrezno normalizacijo. Predstavljeni pristop je uporaben tudi za podobne nabore usklajenih omrežij z drugih področij. Omrežja, pridobljena iz bibliografskih podatkovij, so lahko (zelo) velika (na sto tisoče vozlišč). K sreči so redka in jih za to še vedno lahko obdelamo razmeroma hitro. V članku damo odgovor na vprašanje: kdaj je zmnožek dveh redkih omrežij tudi sam redko omrežje. Predlagani pristopi so prikazani z analizo nabora omrežij na temo "social networks", pridobljenih iz Web of Science. Dela z velikim številom avtorjev dodajo običajnemu omrežju sodelovanj velike polne podgrafe in tako zameglijo sliko o sodelovanjih. Pokažemo, da lahko z ustrezno normalizacijo njihov učinek pridušimo. Med drugim vpeljemo mero sodelovalnosti avtorjev glede na dano bibliografijo in pokažemo, kako lahko izračunamo omrežje sklicevanj med avtorji in razkrijemo skupine glede na sklicevanje.
COBISS.SI-ID: 16739929
Pred kratkim so bili definirani Cayleyjevi politopi kot konveksne ogrinjače Cayleyjevih kompozicij, ki jih je vpeljal Cayley leta 1857. V članku dokažemo Braunovo domnevo, ki izraža prostornino Cayleyjevega politopa s številom povezanih grafov. Rezultat razširimo na deformacijo z dvema spremenljivkama, ki ji rečemo Tuttov politop. Njegova prostornina se izraža s Tuttovim polinomom polnega grafa. Naš pristop temelji na eksplicitni triangulaciji Cayleyjevega in Tuttovega politopa. Dokažemo, da simpleksi v triangulaciji pripadajo označenim drevesom in gozdovom. Srce dokaza je direktna bijekcija, ki temelji na algoritmu "najprej sosedje" za pot po drevesu.
COBISS.SI-ID: 16706905
V članku je obravnavana geometrijska interpolacija ravninskih točk in smeri tangent na robu s kubičnim $G^2$ zlepkom s pitagorejskim hodografom (PH). Dokazano je, da tak interpolant obstaja, če so izpolnjeni določeni naravni pogoji. Konstrukcija zlepka poteka preko reševanja tridiagonalnega sistema nelinearnih enačb. Asimptotični red aproksimacije je 4.
COBISS.SI-ID: 15262809
Abstraktna Stoneova dualnost (ASD je neposredna aksiomatizacija splošne topologije, v nasprotju s tradicionalnimi in modernimi pristopi, ki gradijo napredhodnem pojmu diskretne množice, tipa ali objekta v toposu. ASD združuje matematični in računski pogled v formulaciji, ki je po svoji zasnovi izračunljiva, hkrati pa ne žrtvuje ključnih lastnosti realne analize, kot je kompaktnost zaprtega intervala. Predhodne teorije rekurzivne analize tega niso dosegle, ker so bile zasnovane na pojmu točke; v ASD pa je to možno, saj tako kot teorija okolišev in formalna topologija gradi na algebri odprtih podprostorov. ASD je predstavljen kot lambda-račun, ki ga tu predstavimo v samozadostni obliki, saj so bile osnove in ozadje že obdelane v preteklosti. Osrednja tema članka je konstrukcija realne osi s pomočjo dvostranskih Dedekindovih rezov. Dokažemo, da je v tej konstrukciji zaprti interval kompakten in odkrit, pri čemer se ta dva pojma izražata z obstojem kvantifikatorjev. Nadaljna poglavja, kot je izrek o srednji vrednosti, so obravnavana v ločenem članku, ki gradi na pričujočem delu. Intervalska domena ima pri vsem osnovno vlogo. Kljub temu pa razumemo intervale kot posplošene Dedekindove reze, ki so osnova za konstrukcijo realne osi, in ne kot pare realnih števil. Aritmetika je podrobno obravnavana, pri čemer so naše operacije bolj zapletene kot Moorove intervalske operacije, ker vse izpeljemo konstruktivno in ker obravnavamo obrnjene (Kaucherjeve) intervale. Nazadnje primerjamo ASD z drugimi sistemi konstruktivne in izračunljive topologije in analize.
COBISS.SI-ID: 15322201