V članku za poljubno Cantorjevo množico C v R^3, v kateri imajo vse točke omejen lokalni rod, dokažemo, da obstaja neskončno neekvivalentnih Cantorjevih množic v R^3, ki imajo isto fundamentalno grupo komplementa kot jo ima množica C. Ta rezultat daje odgovor na odprto vprašanje iz znanega spiska "Open Problems in Topology" in kot uporabo omogoča enostavno konstrukcijo nehomeomorfnih odprtih 3-mnogoterosti z isto fundamentalno grupo. Glavne tehnike, ki jih uporabljamo, so analiza lokalnega roda točk Cantorjeve množice, konstrukcije togih Cantorjevih množic z enostavno povezanim komplementom in teorija dekompozicij mnogoterosti. Rezultati tega članka dajo tudi dokaz, da za nekatere grupe G obstaja neštevno mnogo nehomeomorfnih odprtih 3-mnogoterosti s fundamental group G.
COBISS.SI-ID: 16636505
Znano je, da ima parakompaktni prostor X krovno dimenzijo n natanko tedaj,cko se da vsaka preslikava f \colon X \to K iz X v simplicialni kompleks K premakniti v n-skelet K^(n). V tem smislu definiramo dimenzijo v grobi kategoriji. Izkaže se, da tu vlogo preslikav f \colon X \to K igrajo asimptotično Lipschitzeve preslikave, vlogo parakompaktnih prostorov igrajo prostori z lastnostjo A, dimenzija pa sovpada z asimptotično dimenzijo Gromova.
COBISS.SI-ID: 16655193
Vprašanje o realizaciji končnih grup v obliki fundamentalnih grup kompaktnih metričnih prostorov je bilo dolgo časa odprto. Take realizacije je razmeroma lahko konstruirati v okviru metričnih ali kompaktnih prostorov. Kombinacija obeh lastnosti pa je za fundamentalno grupo zelo restriktivna. Problem so obravnavali mnogi topologi (vključno s Cannonom in Connerjem) vendar do rešitve niso prišli. V tem članku dokažemo, da je možno vsako končno grupo realizirati kot fundamentalno grupo kompaktnega podprostora v R^4. V skladu z izrekom Shelaha [S. Shelah, Can the Fundamental (Homotopy) Group of a Space be the Rationals?, Proc. Amer. Math. Soc. 103, no. 2, (1988), 627-632] omenjeni prostori niso lokalno s potmi povezani, če grupa ni končno predstavljiva. Izrek je dokazan z eksplicitno konstrukcijo prostora $X_G$ za vsako števno grupo G.
COBISS.SI-ID: 16654681
Naj bo X povezan CW kompleks in naj K(G,n), za Abelovo grupo G, označuje Eilenberg-Mac Laneov CW kompleks. Ker za K(G,n) lahko vzamemo Abelov monoid, je šibki homotopski tip prostora zveznih preslikav X \to K(G,n) odvisen le od homoloških grup kompleksa X. Namen tega prispevka je dokazati, da enako drži za pravi homotopski tip. Natančneje, dokažemo, da je prostor \mathrm{map}_\ast\big(X, K(G,n)\big) zveznih preslikav X \to K(G,n), ki spoštujejo bazni točki, homotopsko ekvivalenten kartezičnemu produktu \prod_{i \leq n}\mathrm{map}_\ast \big(M_i, K(G,n)\big). Tu je M_i Moorov CW kompleks tipa M\big(H_i(X), i\big). Prostori preslikav so opremljeni s kompaktno odprto topologijo.
COBISS.SI-ID: 16643929
Parametrizirana homologija je različica cik-cak vztrajne homologije, ki meri, kako se homologija nivojnic parametriziranega prostora spreminja s parametrom. V članku predstavimo parametrizirano različico Aleksandrove dualnosti. Naj bo X \subset R^n \times R z n \geq 2 kompaktna množica, ki ustreza določenim pogojem, Y = (R^n \times R) \setminus X in naj bo p projekcija na drugo komponento. Prostora X in Y, opremljena z dano projekcijo, sta parametrizirana prostora. Dokažemo: če ima (X, p|_X) dobro definirano parametrizirano homologijo, potem ima par (Y, p|_Y) dobro definirano parametrizirano reducirano homologijo. Vzpostavimo zvezo med parametrizirano homologijo (X, p|_X) in parametrizirano reduciranohomologijo (Y, p|_Y).
COBISS.SI-ID: 16804185