Topološka kompleksnost, ki jo je vpeljal Farber in višja topološka kompleksnot, kot jo je definiral Rudyak se lahko obe obravnavata kot vlaknasta Lusternik-Schnirelmannova kategorija za primerno izbrane vlaknasto točkaste prostore. Z namenom posplošitve metod klasične LS kategorije na vlaknasto kategorijo je Pavešić v tem vabljenem predavanju na konferenci na Poljskem vpeljal konstrukcijo, ki danemu zveznemu endofunktorju na kategoriji točkastih topoloških prostorov priredi pripadajočo operacijo na vlaksnatih točkastih prostorih. Tako je lahko konstruiral tudi Whitehead-Ganeovo okolje za topološko kompleksnost.
B.04 Vabljeno predavanje
COBISS.SI-ID: 16852313Banakh je imel vabljeno plenarno predavanje na mednarodni konferenci Topology and Its Applications, Nipissing University, North Bay, Ontario, Kanada, 23.-26. julij, 2013. Predstavljeni so bili glavni novi dosežki naše projektne skupine iz geometrijske topologije, povezani z nekaterimi zahtevnimi odprtimi problemi in domnevami, predvsem o fiksiranih fraktalih večličnih preslikav.
B.04 Vabljeno predavanje
COBISS.SI-ID: 16831577Na mednarodni konferenci Variational Problems and PDE's, São Paulo, September 2nd-6th, 2013, je Radulescu imel vabljeno plenarno predavanje z naslovom "Combined effects in nonlinear elliptic problems", v katerem je predstavil najnovejše rezultate naše programske skupine.
B.04 Vabljeno predavanje
COBISS.SI-ID: 16836185Eden izmed večjih problemov pri preučevanju senzorskih omrežij je, da nudijo le informacijo o področju, ki ga senzorji pokrivajo. V statičnih senzorskih omrežjih klasična Aleksandrova dualnost zadošča kot kriterij za pokritost, ampak v mnogo omrežjih se položaj senzorjev spreminja s časom in ta izrek ni dovolj. V primeru dinamičnih senzorskih omrežij sta območji pokritosti in nepokritosti parametrizirana prostora glede na čas. Parametrizirana homologijaje različica cikcak vztrajne homologije, ki meri, kako se homologijanivojnic prostora spreminja, če spreminjamo parameter. V disertaciji predstavimo parametrizirane ekvivalente nekaj različic klasične Aleksandrove dualnosti. Parametrizirana Aleksandrova dualnost nam tudi pomaga pri razumevanju 'problema vsiljivca'.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 16756057Vozli so bili do sedaj klasificirani le za peščico prostorov: 3-dimenzionalni evklidski prostor, projektivni prostor in poln torus, kjer so bili vozli v slednjem klasificirani le do tako imenovanega obrata torusa. S to disertacijo na ta skromni seznam dodamo tudi lečasti prostor $L(p, q)$. Kot stranski produkt te klasifikacije vozle v polnem torusu popolnoma klasificiramo, poleg tega pa ugotovimo tudi, kateri od teh vozlov so akiralni. V obeh primerih klasificiramo vozle do štirih križišč in do petih križišč z nekaj izjemami. Vidimo, da za vsak lečasti prostor obstaja podmnožica pravozlov v polnem torusu, ki predstavlja klasifikacijo vozlov v tem lečastem prostoru. Da lahko uspešno klasificiramo vozle v lečastih prostorih, moramo pred tem izdelati dovolj močne invariante vozlov. Kot prvo invarianto vpeljemo HOMFLYPT premenjalni modul. Do sedaj je bil HOMFLYPT premenjalni modul izračunan samo za prostora S^3 in polni torus S^1 \times D. Dokažemo, da je HOMFLYPT premenjalni modul prostora L(p, 1) prost, predstavimo bazo za vsak p ) 1. Druga invarianta je homologija Hovanova Kauffmanovega oklepajskega premenjalnega modula prostora RP^3. Homologija Hovanova je stopničasta homološka teorija, ki kategorificira Jonesov polinom v smislu, da je Eulerjeva karakteristika homologije enaka Jonesovimu polinomu. Asaeda, Przytycki in Sikora so to homološko teorijo posplošili tako, da so uvedli dvojnostopničasto homološko teorijo, ki kategorificira Kauffmanov oklepajski premenjalni modul I-svežnjev nad ploskvami. Zaradi nenavadnega obnašanja spletov, ki jih projiciramo na neorientabilno ploskev RP^2, teorija odpove pri zvitem I-svežnju RP^2 \widetilde{\times} I \approx RP^3 \setminus \{\ast\}. Pokažemo, da je diferencial v Hovanovem verižnem kompleksu mogoče ustrezno popraviti, da teorija deluje tudi za projektivni prostor. Za klasifikacijo, za izračun HOMFLYPT premenjalnih modulov vozlov in za izračun Kauffmanovih oklepajskih premenjalnih modulov vozlov, smo napisali računalniški program, ki je dostopen preko spleta.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 16639833