Leonardova trojica na vektorskem prostoru V je urejena trojica linearnih operatorjev na V, za katero velja, da za vsakega od teh treh operatorjev obstaja baza za V, glede na katero je matrika tega operatorja diagonalna, matriki ostalih dveh operatorjev pa sta nerazcepni tridiagonalni. Naj bo Q graf D-dimenzionalne hiperkocke. Naj bosta A in A* matrika sosednosti ter dualna matrika sosednosti. Naj bo T algebra generirana z A, A*. Pokazali smo, da obstaja matrika A^e, tako da (A, A*, A^e) deluje na vsakem nerazcepnem T-modulu kot Leonardova trojica. Podali smo opis teh Leonardovih trojic.
COBISS.SI-ID: 14624857
Naj bo G Q-polinomski razdaljno-regularen graf premera D > 2 in s presečnimi števili a_1=0, a_2 \ne 0. Naj bo T Terwilligerjeva algebra grafa G glede na vozlišče x. Pokazali smo, da do izomorfizma natančno obstaja samo en nerazcepen T-modul W s krajiščem 1. Pokazali smo, da ima W dimenzijo 2D-2. Definirali smo bazo modula W, ki jo sestavljajo lastni vektorji matrike A*. Podali smo delovanje matrike A na tej bazi. Pokazali smo, da je večkratnost modula W v standardnem modulu grafa G enaka k-1, kjer je k valenca grafa G.
COBISS.SI-ID: 14627929
Naj bo G razdaljno-regularen graf premera D > 2. Privzemimo, da ima G klasične parametre (D,b,\alpha,\beta) z b < -1. Naj bo T Terwilligerjeva algebra grafa G glede na vozlišče x. Pokazali smo, da do izomorfizma natančno obstajata natanko dva T-modula s krajiščem 1. Njuni dimenziji sta D in 2D-2. Za ta T-modula smo poiskali bazo, ki jo stestavljajo lastni vektorji matrike A*. Podali smo delovanje matrike A na vsaki izmed teh dveh baz.
COBISS.SI-ID: 2132965
Naj bo G dvodelen Q-polinomski razdaljno-regularen graf. Izberimo si vozlišči x,y ki sta na razdalji 2. Naj bo w_{ij} karakterističen vektor množice vozlišč, ki so na razdalji i od x in na razdalji j od y. Naj bo W=span{w_{ij} | 0 \le i,j \le d}. V članku smo študirali prostor MW=span{mw | m in M, w in W}, kjer je M Bose-Mesnerjeva algebra grafa G. Poiskali smo ortogonalno bazo prostora MW. Podali smo delovanje matrike A na tej bazi. Pokazali smo, da je dimenzija prostora MW enaka 3d-3 v primeru, ko je graf G 2-homogen, 3d-1 v primeru, ko je G antipodni kvocient 2d-kocke, in 4d-4 sicer.
COBISS.SI-ID: 1796823
Glavni rezultat članka je klasifikacija razdaljno-regularnih cayleyevih grafov diederskih grup. Naslednje štiri družine grafov so očitno takšne (in jih bomo zato imenovali trivialne): polni grafi, polni dvodelni grafi, polni kompletni grafi brez 1-faktorja in cikli sode dolžine. Dokazali smo, da je vsak netrivialen razdaljno-regularen cayleyev graf diederske grupe dvodelen, neantipoden, premera 3, ter je porojen bodisi iz ciklične diferenčne množice, ali pa iz diederske diferenčne množice ki zadošča nekaterim dodatnim pogojem (če kakšna taka diferenčna množica sploh obstaja).
COBISS.SI-ID: 1909207