V članku dokažemo, da je Connesova vložitvena domneva o von Neumannovih algebrah ekvivalentna obstoju določenih algebraičnih certifikatov za naslednji pozitivnostni pogoj za polinome v nekomutirajočih spremenljivkah: sled je nenegativna v vseh končno-razsežnih *-upodobitvah. V teh certifikatih nastopajo hermitski kvadrati, komutatorji in njihove vsote.
COBISS.SI-ID: 14569561
Fizika Lieb in Seiringer iz Princetona sta pred kratkim Bessis-Moussa-Villanijevo domnevo iz kvantne fizike reformurirala takole: vsota vseh besed v dveh pozitivno semidefinitnih matrikah, kjer je število vsake od črk konstantno v vseh sumandih, ima vselej nenegativno sled. V članku pokažemo, da trditev drži za vse vsote besed dolžine manj kot 14. V dokazu utemeljimo povezavo med vsotami hermitskih kvadratov nekomutativnih polinomov in semidefinitnim programiranjem.
COBISS.SI-ID: 14975321
V članku karakteriziramo nekomutativne analitične funkcije, ki slikajo brezdimenzijske matrične krogle na brezdimenzijske matrične krogle. Modulo normalizacijo z unitarnimi matrikami, so takšne funkcije direktne vsote identične preslikave in funkcije, ki slika omenjene krogle v krogle.
Leta 1976 sta v Annals of Mathematics Procesi in Schacher razvila Artin-Schreierjevo teorijo za centralno enostavne algebre z involucijo in domnevala, da je v takšni algebri vsak totalno pozitiven element vsota hermitskih kvadratov. V prispekvu podamo več protiprimerov to domneve in hkrati dokažemo Positivstellensatz za nekomutativne polinome, ki so pozitivno semidefinitni na dxd matrikah.
V članku predstavimo algoritem za iskanje vsot hermitskih kvadratov nekomutativnih polinomov. Algoritem je osnovan na metodi Newtonovih odrezkov, ki so ustrezna nekomutativna različica Newtonovega politopa, in semidefinitnem programiranju.