Z uporabo ideje o Dowkerjevi dualnosti dokažemo, da je Ripsov kompleks pri parametru r homotopsko ekvivalenten živcu pokritja sestavljenega iz množic določenega diametra. Razvijemo funktorialno verzijo izreka o živcu z dodatkom Dowkerjeve dualnosti, s čemer dobimo funktorialen diagram Dowker-živec. Dobljene rezultate vključimo v sistematično obravnavo filtracij, ki izhajajo iz pokritij. Kot posledico dobimo spločen pristop k rekostrukciji prostorov z Ripsovimi kompleksi, kratek dokaz Hausmannovega rekonstrukcijskega izreka ter povsem klasificiramo rekonstrukcijske nivoje metričnih grafov. Poleg tega predstavimo novo metodo ekstrakcije homologije prostora, osnovano na vgnezdenih Ripsovih kompleksih na enem samem nivoju, ki je neodvisna od sosednjih nivojev in evklidske strukture ambientnega prostora.
COBISS.SI-ID: 52517123
Dokažemo, da ima prostor vztrajnostnih diagramov na n točkah (v bottleneck ali Wassersteinovi razdalji) asimptotično dimenzijo 2n, iz česar sledi, da je grobo vložljiv v Hilbertov prostor. Omenjena vložitev omogoča uporabo tehnik Hilbertovih prostorov na prostoru vztrajnostnih diagramov. Dokažemo tudi, da ima prostor vztrajnostnih diagramov na končno mnogo točkah neskončno asimptotično dimenzijo. Nadalje pokažemo, da v primeru bottleneck razdalje slednji prostor ni grobo vložljiv v Hilbertov prostor.
COBISS.SI-ID: 56721667
Leta 1995 je Hausmann dokazal, da je kompaktna Riemannova mnogoterost homotopsko ekvivalentna svojemu Ripsovemu kompleksu pri majhnih velikostnih parametrih. Nato je postavil domnevo, da je povezanost Ripsovih kompleksov monotona funkcija velikostnega parametra. Vsi dosedanji primeri so domnevo potrjevali. V članku dokažemo, da obstaja metrika na tridimenzionalni sferi, ki ne zadošča Hausmannovi domnevi. Dokaz vključuje stabilnostni izrek o vztrajnostni homologiji, vztrajnostni Hausmannov izrek ter aproksimacijski izrek Ferryja in Okuna.
COBISS.SI-ID: 62099715