V članku je dokazano, da v končnem polju F reda p, kjer p ni eno izmed končno mnogih izjem, za vsak polinom f(x) iz F[x] stopnje 4, ki nima neničelnega konstantnega člena in ki ni oblike ag(x)&2, obstaja tak primitiven element b v F, za katerega je f(b) kvadratni ostanek v F. Ta rezultat predstavlja izboljšavo rezultata Maddena in Veleza iz leta 1982 o polinomih, ki predstavljajo kvadratne ostanke v primitivnih elementih in je ključnega pomemba v dokazu obstoja hamiltonskih ciklov v posebni neskočni družini povezanih primitivnih točkovno-tranzitivnih grafov, katerih red je produkt dve praštevil.
COBISS.SI-ID: 1541859268
Predmet obravnave s grafi stopnje 4, ki dopuščajo grupo avtomorfizmov, ki deluje tranzitivno na vozliščih in povezavah grafa, ne pa tudi na njegovih lokih. Enega izmed bolj plodnih pristopov za študij takšnih grafov je pred 20 leti začel Marušič, gre pa za analizo tako imenovanih alternirajočih ciklov in njihovih presekov. V tem članku vpeljemo nov parameter za takšne grafe, ki omogoča še boljši vpogled v strukturne lastnosti študiranih grafov. Študirane so nekatere lastnosti tega parametra, za tesno spete poltranzitivne grafe pa ga natančno določimo. Dobljeni rezultati predstavljajo povezavo med dvema možnima pristopoma za morebitno klasifikacijo vse poltranitzivnih grafov stopnje 4, tistim, ki sta ga leta 1999 zastavila Marušič in Praegerjeva, in tistim, ki so ga nedavno predlagali Al-bar, Alkenai, Muthana, Praeger in Spiga. Napravljen je tudi pomemben korak k razrešitvi vprašanja, če v poltranzitivnem grafu stopnje 4 spojno število res vedno deli njegov radij.
COBISS.SI-ID: 1540554436
Naj bo p: Y -) X regularna krovna projekcija povezanih grafov, kjer CT(p) označuje grupo krovnih transformacij. Predpostavimo, da se grupa G ( Aut(X) dvigne vzdolž p v grupo H ( Aut(Y). Pripadajoče kratko eksaktno zaporedje id -) CT(p) -) H -) G -) id je krepko razcepno nad G-invariantno podmnožico S vozlišč grafa X, če obstaja sekcijski komplement, torej komplement G' grupe CT(p) z G'-invariantnim odsekom S' nad S. Takšni dvigi se ne razcepijo samo abstraktno, ampak tudi permutacijsko v smislu, da omogočajo lep kombinatorični opis. Sekcijski komplemnti so obravnavani z več vidikov. Analizirana je povezava med številom sekcijskih in invariantnih sekcij na eni strani in krepke razširitve na drugi strani. V primeru, ko je CT(p) abelska in je krovna projekcija podana implicitno v smislu napetosten funckije na baznem grafu X, je predstavljen učinkovit algoritem za testiranje, ali ima H sekcijski komplement.
COBISS.SI-ID: 1540135364