Linearna preslikava med matričnima vektorskima prostoroma je pozitivna, če ohranja pozitivno semidefinitne matrike, in popolnoma pozitivna, če so vse njene ampliacije pozitivne. V članku dokažemo kvantitativne meje razmerja pozitivnih in popolnoma pozitivnih preslikav. Glavno orodje so tehnike realne algebraične geometrije, ki jih je razvil Blekherman pri študiju razmerja med pozitivnimi polinomi in polinomi, ki so vsote kvadratov polinomov. Razvijemo tudi algoritem, ki generira pozitivne preslikave, ki niso popolnoma pozitivne.
COBISS.SI-ID: 111111
Za kvadratov prost polinom dveh spremenljivk $p$ stopnje $n$ je predstavljen enostaven in hiter numerični algoritem za konstrukcijo takih $n \times n$ matrik $A$, $B$ in $C$, da velja $\det(A+xB+yC)=p(x,y)$. To je minimalna velikost, ki je potrebna za predstavitev polinoma dveh spremenljivk stopnje $n$. V kombinaciji z razcepom na kvadratov proste faktorje je tako možno izračunati $n \times n$ matrike za poljuben polinom dveh spremenljivk stopnje $n$. Obstoj takih simetričnih matrik je dokazal Dixon že leta 1902, a do sedaj ni bila znana nobena enostavna numerična konstrukcija, tudi če so matrike lahko nesimetrične. Tovrstne upodobitve lahko uporabimo za to, da učinkovito numerično rešimo sistem dveh polinomov dveh spremenljivk nizke stopnje s pomočjo dvoparametričnih problemov lastnih vrednosti. Nova upodobitev znatno pospeši izračun.
COBISS.SI-ID: 18087513
Za polinome stopnje največ 5 v 2 spremenljivkah podamo hitro numerično konstrukcijo determinantnih reprezentacij z nxn matrikami. Za razliko obstoječih konstrukcij, naš pristop vrne matrike najmanjše možne velikost nxn za vse (ne le generične) polinome stopnje n, hkrati pa ne zahteva simbolnega računanja. Te linearizacije lahko uporabimo, da numerično izračunamo rešitve Sistema dveh polinomov v dveh spremenljivkah z uporabo numeričnih metod za dvoparametrične probleme lastnih vrednosti.
COBISS.SI-ID: 18280537