Projekti / Programi
Topologija, geometrija in nelinearna analiza
01. januar 2015
- 31. december 2021
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
geometrijska topologija, algebrska topologija, topologija nizko-dimenzionalnih mnogoterosti, diferencialna geometrija, teorija fraktalov, geometrija v velikem merilu, uporabna in računska topologija, nelinearne eliptične parcialne diferencialne enačbe, uporabna nelinearna analiza
Raziskovalci (22)
Organizacije (1)
Povzetek
Predlagani novi nacionalni raziskovalni program Topologija, geometrija in nelinearna analiza je nadaljevanje in razširitev našega sedanjega šestletnega nacionalnega raziskovalnega programa P1-0292-Topologija in geometrija (ki je bil v prejšnjem obdobju izbran od ARRS med najboljše slovenske raziskovalne programe). Nadaljevati nameravamo delo na raznih znanih nerešenih problemih geometrijske topologije, algebrske topologije, topologije nizko-dimenzionalnih mnogoterosti, diferencialne geometrije, grobe geometrije, teorije fraktalov in aplikativne ter računske topologije. Poleg tega bomo znatno razširili svoje raziskave na področju nelinearne analize in njene uporabe, kjer smo v zadnjih letih že dosegli več odličnih rezultatov.
V naslednjem obdobju se nameravamo osredotočiti na naslednje raziskovalne teme: (i) prostore inverznih limit zaporedij z večličnimi povezovalnimi preslikavami, (ii) lastnosti 3-mnogoterosti v zvezi s strukturo njihovih koncev, (iii) iterativne sisteme, ki vložijo nekatere limitne množice v evklidski 3-prostor, (iv) algebrsko strukturo grupe vložitvenih homeomorfizmov 3-mnogoterosti, (v) algebrsko topologijo divjih prostorov, posebej teorijo koralnih grup, (vi) fundamentalne grupe kompaktov in prostorov dvigov, (vii) metode homotopske teorije v vlakenski topologiji, (viii) aplikacije topoloških metod v kompleksni analizi, še posebej raziskave Steinovih mnogoterosti, (ix) novemu pristopu k vztrajni homologiji, (x) odprte probleme v računski topologiji, (xi) raziskave asimptotičnih lastnosti metričnih prostorov z grobo geometrijo, (xii) nelokalne enačbe s splošnim integro-diferencialnim operatorjem ulomljenega tipa, (xiii) eliptične probleme Kirchhoffovega tipa v zvezi z evolucijskimi fenomeni z intrinzično nelokalno naravo, (xiv) probleme parametrične diferencialne inkluzije z diskretnimi operatorji z raznimi robnimi pogoji ali s posebnimi zahtevami za nelinearni člen pri kritični rasti in (xv) kritični in singularni problemi z variabilnim eksponentom v kvalitativni analizi nelinearnih eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb.
Kot doslej, nameravamo tudi v naslednjem obdobju publicirati svoje rezultate v odličnih revijah čiste in aplikativne matematike. V uglednih znanstvenih založbah bomo objavili več novih monografij. Naše raziskave se bodo nadaljevale v intenzivnem sodelovanju z odličnimi raziskovalnimi skupinami iz Evropske unije, Združenih držav Amerike, Kanade, Ruske federacije, Kitajske in Japonske, v okviru sedanjih (in prihodnjih) mednarodnih (bilateralnih in multilateralnih) raziskovalnih projektov in omrežij. Planiramo tudi več konferenc in srečanj v tem obdobju, z udeležbo ključnih tujih ekspertov, kjer bodo predstavljeni novi rezultati in bo omogočena intenzivna izmenjava znanja. Nadaljevati nameravamo z uporabo naših rezultatov izven matematike. Tudi v bodoče bomo razvijali doktorski program na teh raziskovalnih področjih v Sloveniji in intenzivno vključevali doktorske študente v naše raziskovalno delo.
Pomen za razvoj znanosti
Predlagani program vsebuje delo na zelo aktualnih raziskovalnih področjih sodobne topologije, geometrije in nelinearne analize, ki so zelo zanimiva za eksperte tako v čisti kot tudi v uporabni matematiki z vsega sveta (iz Evropske unije, Rusije, Združenih držav Amerike, Kanade, Kitajske, Japonske in od drugod). Naša programska skupina zelo uspešno raziskuje prominentne probleme topologije in geometrije že od 1980-ih let naprej, v zadnjem obdobju financiranja (2009-2014) pa smo v svoje delo vključili tudi pomembno področje nelinearne analize. Mnogi od predlaganih problemov so ostali nerešeni že daljše obdobje in so jih poskušali rešiti odlični raziskovalci z vsega sveta. Zato bodo naši rezultati, ki jih načrtujemo, vzbudili veliko zanimanje v mednarodni matematični skupnosti.
Poleg svojega pomembnega znanstvenega učinka je ta predlog zasnovan z zelo pomembno dodatno koristjo – v Sloveniji bo močno razvil eno od najpomembnejših področij uporabne matematike, namreč nelinearne (navadne in parcialne) diferencialne enačbe in aplikativno funkcionalno analizo, ki doslej še nista bili prisotni v naši državi. Nelinearna analiza je brez dvoma ena od področij temeljnega raziskovanja, ki imajo največji potencial za velik učinek in posledično veliko afirmacijo v mednarodni raziskovalni skupnosti.
Diferencialni operatorji, ki opisujejo obnašanje tekočin so praviloma nelinearni in predstavljajo zelo težke matematične probleme. Obnašanje spektrov teh operatorjev je tako nenavadno, da njihov opis predstavlja bistveno razširitev našega znanja – tako na področju matematične analize kot tudi na področju fizike tekočin. Raziskovalni problemi, ki jih predlagamo proučevati, so bili navdihnjeni s povsem konkretnimi modeli, ki so se pojavili v matematični fiziki, in jih že študirajo mnogi znani eksperti v tujini. Naš program je zelo zahteven in temelji na ekspertizi raznih raziskovalnih področij matematike, ki vključujejo nelinearno funkcionalno analizo, diferencialne in parcialne diferencialne enačbe, geometrijo, topologijo in variacijski račun. Zaradi svojega potenciala za aplikacije in zaradi pričakovanega pomembnega vpliva predlaganih raziskav na celotno področje teorije parcialnih diferencialnih enačb, na katerem so e vedno odprti temeljni problemi, smo prepričani, da bi moral imeti predlagani program zelo visoko prioriteto spričo relevantnosti in pomena tako za Slovenijo kot tudi za znanje nasploh.
Še nadalje bomo pošiljali svoje rezultate v revije z visokim SCI faktorjem – v prejšnjem obdobju (2009-2014) smo objavili 53 člankov v revijah v prvi četrtini seznama SCI – seznam teh objav je bil priložen poročilu za to obdobje. Naša programska skupina ima že od nekdaj največ mednarodnih projektov med vsemi raziskovalnimi programi iz matematike v Sloveniji, kar priča o naši odlični vpetosti v mednarodne raziskovalne mreže. V obdobju 2009-2014 smo imeli 153 tujih soavtorjev (mnogi od njih so obiskali Ljubljano in so našteti v točki 22 spodaj) iz Avstralije, Avstrije, Belorusije, Bolgarije, Kanade, Kitajske, Češke republike, Francije, Nemčije, Gruzije, Grčije, Indije, Irana, Irske, Izraela, Italije, Japonske, Koreje, Maroka, Poljske, Romunije, Ruske federacije, Savdske Arabije, Španije, Tadžikistana, Tunizije, Ukrajine in Združenih držav Amerike.
Nadaljnje zelo pomembno področje našega dela je pisanje zaokroženih monografij s področij svoje ekspertize, s čimer promoviramo razvoj teh področij kakor tudi svoje rezultate po vsem svetu, saj monografije izdajamo pri odličnih znanstvenih založbah. V obdobju 2009-2014 smo objavili naslednje pomembne monografije:
PAVEŠIĆ, Petar, PICCININI, Renzo A.. Fibrations and their classification, (Research and exposition in mathematics, vol. 33). Lemgo: Heldermann, 2013. ISBN 978-3-88538-233-1
GHERGU, Marius, RADULESCU, Vicenţiu. Nonlinear PDEs : mathematical models in biology, chemistry and population genetics, (Springer monographs in mathematics). Berlin; Heidelberg: Springer, 2012. ISBN 978-3-642-2266
Pomen za razvoj Slovenije
I. Neposredni vpliv: Naša programska skupina ima za seboj že dolgo in uspešno zgodovino sodelovanja z gospodarstvom od 1980-ih let. Člani naše skupine so doslej sodelovali na naslednjih aplikativnih projektih:
(i) Telekomunikacije: o optimizaciji performans digitalnih telefonskih central z raziskovalno-razvojnim oddelkom nekdanjega telekomunikacijskega podjetja Iskra Telematika.
(ii) Elektrotehnika: s podjetjem Elektrina o verifikaciji naključnosti in analizi iregularnosti mehanskega generatorja slučajnih števil.
(iii) Optimizacija oblik: s tovarno plovil Seaway group o optimizaciji metod za oblikovanje lupin jaht.
(iv) Optimizacija procesov: s podjetjema Abelium in Epilog o razvoju novih tehnoloških rešitev za optimizacijo logistike velikih skladišč.
(v) Farmacevtska industrija: z glavno domačo farmacevtsko tovarno Krka o raznih statističnih analizah.
(vi) Elektronika: s podjetjem Elatec o algoritmih za vodilo testnih mikroskopov za digitalno skeniranje s povratno informacijo za regulacijo vertikalnega gibanja.
(vii) Optimizacija in logistika: s podjetjem visoke tehnologije Abelium in start-up podjetjem Epilog o integriranih softverskih rešitvah za interno logistiko in
avtomatizirana skladišča.
(viii) Detekcija goljufij in anomalij: s podjetjem Optilab o tehnoloških rešitvah na področju odkrivanja goljufij in anomalij z učinkovito podporo.
(ix)Tekstilna industrija: s Fakulteto za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani o analizah vpliva kemijskih premazov na površinske lastnosti steklenih plošč.
S svojo ekspertizo na področju topologije, geometrije in nelinearne analize bomo nadaljevali svoje sodelovanje z gospodarstvom. Omenjena področja matematike so znana po svoji uporabnosti, teorija vozlov in spletov je na primer pred kratkim pokazala presenetljivo uporabo v kemiji in biologiji, še posebej za strukturo DNK (naša skupina pa je odkrila uporabo te teorije v teoriji magnetnega polja). Delamo na geometriji fraktalov, ki je široko uporabna. Poleg tega se lahko algoritmi, ki smo jih razvili za generiranje diskretnih Morsovih funkcij v računski topologiji, uspešno uporabijo v radiološki diagnostiki, n. pr. slikanju z računalniško tomografijo in scintigrafijo v medicini (na tem področju že sodelujemo z nekaterimi podjetji visoke tehnologije, ki orjejo ledino). Številne aplikacije nelinearne analize smo proučevali v naši monografiji Variational Principles in Mathematical Physics, Geometry, and Economics, Cambridge University Press 2010.
II.Posredni vpliv: Poudarjamo dva najpomembnejša faktorja:
(A) Promocija Slovenije: naša skupina se je vedno trudila promovirati slovensko znanost z najbolj učinkovito diseminacijo svojih raziskovalnih rezultatov:
(i) z objavo svojih člankov v odličnih matematičnih revijah s seznama SCI
(ii) z objavo svojih monografij pri vodilnih znanstvenih založbah
(iii) z vabljenimi plenarnimi predavanji na mednarodnih konferencah in delavnicah
(iv) s kolokviji na vodilnih tujih raziskovalnih inštitucijah
(v) z udeležbo v internacionalnih raziskovalnih projektih
(vi) z obiski odličnih znanstvenikov v Sloveniji pri naši programski skupini
(vii)z nagradami in priznanj, ki so jih prejeli člani naše skupine za svoje raziskovalno delo
(B) Izobraževanje v Sloveniji: Naša programska skupina je vedno polagalo posebno pozornost na razvoj (dodiplomskega in podiplomskega) matematičnega izobraževanja v Sloveniji in s tem bomo nadaljevali tudi v naslednjem obdobju financiranja našega programa:
(i) Razvoj univerzitetnega kurikula s ponudbo sodobnih predmetov na Univerzi v Ljubljani (in pisanjem učbenikov) na področjih od topologije, geometrije, nelinearne analize in aplikacij, n.pr. podiplomskih predmetov Topologija v računalništvu, Računska topologija in Matematično modeliranje na Fakulteti za matematiko in fiziko in na Fakulteti za računalništvo in informatiko (za te predmete kažejo velik interes tudi eksperti z drugih področij).
(ii) Gostujoč
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2015,
vmesno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2015,
vmesno poročilo
