Projekti / Programi
Splošna topologija in metode teorije množic
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.02 |
Naravoslovje |
Matematika |
Topologija |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P110 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematična logika, teorija množic, kombinatorika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
Lindelöfov prostor, D-prostor, Michaelov prostor, parakompakten prostor, večlična preslikava, zvezna selekcija, forcing, elementaren podmodel, kardinalna karakteristika kontinuuma, selekcijski princip
Raziskovalci (17)
Organizacije (1)
Povzetek
To je triletni skupni avstrijsko-slovenski projekt, s katerim želimo v Sloveniji postaviti temelje za vodilni mednarodni center za topologijo in logiko, ki bo tesno sodeloval z odličnim avstrijskim raziskovalnim centrom Kurta Gödela za matematično logiko na Dunaju (ki je naš enakopravni sodelavec v predlaganem projektu) ter z ostalimi pomembnimi centri po svetu, predvsem v Evropski uniji, v ZDA, v Rusiji, na Japonskem ter v Izraelu.
Glavna tema predlaganega projekta je uporaba metod teorije množic, kot so forcing, elementarni podmodeli, kardinalne karakteristike in njihove sinteze s topološkimi metodami, kot so selekcije funkcij z vrednostmi v množicah, v obravnavi vprašanj splošne topologije. Med drugim nameravamo raziskati, če so regularni Lindelöfovi prostori in, splošneje, parakompaktni prostori D-prostori z uporabo elementarnih podmodelov in funkcij z vrednostmi v množicah. Pričakujemo tudi znaten napredek v razumevanju produktivno Lindelöfovih prostorov v raznih modelih teorije množic in njihove odnose z D-prostori, kar lahko močno vpliva na študij Michaelovih prostorov. Poleg razrešitve nekaterih od spodaj navedenih problemov bomo prispevali tudi k globljemu razumevanju zgoraj omenjenih metod.
Pojem D-prostora sta uvedla van Douwen in Pfeffer leta 1979 in odtlej je to eden osrednjih konceptov splošne topologije. Kot je opazil Eisworth leta 2007, je eden glavnih ciljev študija D-prostorov pridobiti globlje razumevanje odnosa med lastnosti pokritij in in lastnostmi D-prostora. Posebej lahko omenimo, da sta odprti naslednji vprašanji: Ali je vsak regularen Lindelöfov prostor X D-prostor? Ali je vsak parakompakten prostor D-prostor? Prvi znatni napredek v tej smeri je pred kratkim dosegel L. Aurichi, ki je dokazal, da je vsak prostor z Mengerjevo lastnostjo pokritij D-prostor.
V skupnem delu Repovš-Zdomskyy smo izolirali in razširili kombinatorno jedro Aurichijevega dokaza in ugotovili, da je s predpostavko Martinovega aksioma vsak parakompakten proctor velikosti omega_1 tudi D-prostor, s čimer smo rešili problem, ki ga je postavil G. Gruenhage. Eden od ciljev projekta je poostriti zgoraj omenjeni rezultat, končni cilj pa je odstranitev dodatnih predpostavk teorije množic, t.j., odgovoriti na drugo zgoraj postavljeno vprašanje. Poleg uporabe primernih iger kot prej nameravamo aplicirati teorijo funkcij z vrednostmi v množicah in njihovih selekcij, kjer ima D. Repovš izjemno ekspertizo. Ta pristop temelji na opažanju, da obstaja mnogo naravnih funkcij z vrednostmi v množicah z močnimi topološkimi lastnostmi, ki so povezane s predpisom okolic N in vsebujejo vso njegovo informacijo. Pričakujemo, da nam bodo tu v veliko pomoč elementarni podmodeli.
S tem povezan je tudi naslednji pomemben problem: Ali obstaja Lindelöfov prostor X, katerega produkt s prostorom iracionalnih števil ni Lindelöfov? Prostori X, ki dajo pozitivno rešitev tega problema se imenujejo Michaelovi prostori. Obstaja mnogo konsistentnih primerov Michaelovih prostorov. Vendar pa popolna rešitev tega problema izgleda zaenkrat nedosegljiva z doslej znanimi metodami, zato je naravno, da se tega lotimo z “majhnimi” koraki. Eden od naravnih pristopov, ki ga je v nedavnih objavah predlagal F. Tall analiza produktivno Lindelöfovih množic realnih števil. Pred kratkim sta Repovš in Zdomskyy dokazala, da ima v primeru obstoja Michaelovega prostora vsak produktivno Lindelöfov prostor Mengerjevo lastnost in je zato D-prostor. Ta rezultat nakazuje na doslej neopaženo zvezo med zgoraj omenjenimi problem in ga nameravamo nadalje proučevati.
Nadaljnje zanimivo področje je obnašanje produktivno Lindelöfovih množic realnih števil s predpostavko negacije hipoteze kontinuuma. Raziskati nameravamo, če so vse take množice sigma-kompaktne v Miller-Sacksovih modelih teorije množic. Za projektivne množice realnih števil pričakujemo pozitivni odgovor.
Pomen za razvoj znanosti
Projekt je obravnaval številne pomembne teme sodobne splošne topologije in teorije množic. Našli smo nove metode in tehnike za rešitev številnih odprtih problemov, ki so bili že dolgo časa v središču pozornosti precejšnjega števila vodilnih strokovnjakov. Zato bodo naši rezultati zagotovo vplivali na to znanstveno področje v svetovnem merilu in bodo pospešili tudi razvoj matematičnih znanosti v Sloveniji. Zelo uspešno tudi odkrivamo številne možnosti za uporabo naših raziskav na drugih področjih. Naši rezultati so bili objavljeni v vodilnih specializiranih mednarodnih matematičnih revijah, ki so visoko na seznamu SCI na področju matematike, npr. Abstract and Applied Analysis, Advances in Mathematics, Archive for Mathematical Logic, Communications in Contemporary Mathematics, Communications on Pure and Applied Analysis, Computers & Mathematics with Applications, Forum Mathematicum, Geometry & Topology, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Journal of Symbolic Logic, Linear Algebra and its Applications, Milan Journal of Mathematics, Proceedings of the Royal Society, Results in Mathematics, Transactions of the American Mathematical Society, idr. Naši rezultati so naleteli na veliko zanimanje v mednarodni matematični javnosti in so bili pogosto citirani. Nekatere naše objave pri založbi Elsevier North-Holland so bile uvrščene tudi med najbolj zahtevane (downloaded) članke (npr. v reviji Topology and Its Applications). Projektna skupina je že zelo dobro etablirana na svojem raziskovalnem področju in je že dobila več domačih in tujih priznanj. Člani naše skupine so prejeli vabila za predavanja na pomembnih mednarodnih konferencah, kar potrjuje mednarodno uveljavljenost naše skupine. Povečalo se je zanimanje tujih raziskovalnih institucij za sodelovanje z IMFM, predvsem iz Evropske unije. Kot rezultat ima naša raziskovalna skupina največje število mednarodnih projektov iz matematike v Sloveniji.
Pomen za razvoj Slovenije
Delo na tem področju je imelo tudi pozitiven vpliv na razvoj raziskovalne matematike v Sloveniji, s poudarkom na splošni topologiji in teoriji množic, ter na vpetost v svetovno raziskovalno mrežo, posebej v okviru Evropske unije. Glavni dosežek tega projekta je odkritje zelo pomembnih novih temeljnih zakonitosti in njihova uporaba v matematiki ter razširitev obstoječih raziskovalnih orodij in njihova uporaba. Dobljeni rezultati se zelo dobro ujemajo z načrti razvoja slovenske znanosti in tehnologije na področju povečanja znanja, kot tudi za izboljšanje kakovosti podiplomskega študija. Naše raziskave so povezane in nadgrajujejo naše dosedanje uspešne raziskave na tem področju in se nanašajo na probleme, ki smo jih že uspešno obravnavali, z odličnim odmevom, v številnih mednarodnih raziskovalnih projektih, pri katerih sodelujemo. Kot rezultat naših dolgoletnih prizadevanj je naš inštitut mednarodno priznan evropski center za topologijo in eno pomembnih stičišč strokovnjakov na tem področju. Naše raziskovalno delo je prejelo več domačih in mednarodnih priznanj in pred časom smo bili izbrani med najboljše programske skupine v državi. Naši uveljavljeni člani skupine na svojem področju že odločilno vplivajo na smer aktualnega raziskovanja v mednarodnem prostoru. V zadnjem času se vedno bolj uveljavlja tudi mlajša generacija raziskovalcev, ki ji je prav delovanje v okviru programa omogočilo pridobitev potrebnega znanja za uspešno raziskovalno delo. Naša projektna skupina zelo uspešno sodeluje z uporabniki, npr. pri razvoju novih učinkovitih algoritmov za generiranje diskretnih Morsovih funkcij v računski topologiji, kar se lahko uporabi v medicinski radiološki diagnostiki. Na teh področjih učinkovito sodelujemo z nekaterimi domačimi podjetji visoke tehnologije, ki so v konici razvoja svojih področij. V prihodnje nameravamo še razširiti delovanje na aplikativnih področjih in se še bolj umestiti v raziskovalnih mrežah znotraj EU. Projekt je imel tudi zelo pozitiven učinek na razvoj podiplomskih študijev v Sloveniji v okviru doktorskih programov matematike na Univerzi v Ljubljani. Pod našim mentorstvom so mladi raziskovalci in drugi doktorski študenti izdelali svoje disertacije na najbolj propulzivnih temah topologije in njene uporabe. Pripravili smo tudi sodobne podiplomske tečaje, npr. "Topologija v računalništvu" na Fakulteti za računalništvo in informatiko na Univerzi v Ljubljani, ki je bil zanimiv tudi za druga področjih, še posebej za medicino.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2013,
2014,
2015,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2013,
2014,
2015,
zaključno poročilo
