Projekti / Programi
Geometrija in topologija 3-mnogoterosti
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.02 |
Naravoslovje |
Matematika |
Topologija |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P150 |
Naravoslovno-matematične vede |
Geometrija, algebraična topologija |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
hiperbolična 3-mnogoterost, geometrijska struktura, Coxeterjev polieder, fundamentalna grupa, prostornina, togost, kompleksnost, vozel, splet, razvejan krov, lečasti prostor, cikličnost
Raziskovalci (17)
Organizacije (1)
Povzetek
Teorijo 3-mnogoterosti sta kot klasično vejo topologije in geometrije uvedla Klein in Poincaré. Ponoven zagon je dobila s Thurstonovo geometrizacijsko domnevo. V zadnjih dvajsetih letih so bile 3-mnogoterosti z geometrično hiperbolično strukturo (kot tudi hiperbolične 3-orbiterosti in stožčaste mnogoterosti) predmet intenzivnih raziskav. V tem projektu bomo razvili teorijo 3-mnogoterosti v več smereh. Poudarek bo na dveh ključnih karakterizacijah mnogoterosti.
Z obravnavo fundamentalnih poliedrov hiperboličnih 3-mnogoterosti bomo opisali pripadajoče lastnosti volumnov, ki so topološke invariante po togostnem izreku Mostowa. Iz Alexandrovega izreka sledi, da je vsaka sklenjena 3-mnogoterost razvejan krov 3-sfere. Razvili bomo splošen postopek za izgradnjo in obravnavo topoloških lastnosti tistih sklenjenih 3-mnogoterosti, ki so ciklični razvejani krovi lečastih prostorov.
Obe karakterizaciji bosta uporabljeni za oceno kompleksnosti (v smislu Matveeva) dobljenih 3-mnogoterosti, ki je nadvse uporaben parameter za sistematično obravnavo 3-mnogoterosti. Poleg tega bosta obe karakterizaciji uporabljeni v kombinatorni teoriji grup: poliederska konstrukcija bo povezana z obravnavo breztorzijskih podgrup Coxeterjevih grup, konstrukcija cikličnih krovov pa bo povezana z raziskovanjem ciklično predstavljivih grup - z njihovo končnostjo in hiperboličnostjo.
Pomen za razvoj znanosti
Raziskovalni projekt je obravnaval eno najaktivnejših področij sodobne matematike. V zadnjih desetletjih je nizko-dimenzionalna topologija doživela eksplozivno rast in najuspešnejši raziskovalci iz tega področja so bili izbrani za najprestižnejše nagrade (npr. Perel'man za dokaz preko sto let stare Poincaréjeve domneve). Zato je to področje, v katerem si sledijo pomembni rezultati hitreje kot na mnogih drugih področjih, tudi zaradi raznovrstne in intenzivne povezanosti z raznimi drugimi vejami matematike (posebej s teorijo grafov, funkcionalno analizo, algebrsko geometrijo in kvantno teorijo polja). Projekt je obravnaval nekatere ključne pomembne teme na področju in našli smo nove metode in tehnike za rešitev zelo težkih odprtih problemov, ki so bili že dolgo časa v središču pozornosti precejšnjega števila vodilnih strokovnjakov topologije in geometrije. Zato bodo naši rezultati zagotovo vplivali na matematiko v svetovnem merilu in bodo pospešili tudi razvoj matematike v Sloveniji. Zelo uspešno tudi odkrivamo številne možnosti za uporabo naših raziskav, npr. naši rezultati iz področja teorije vozlov in spletov imajo presenetljivo in pomembno uporabo v kemiji in biologiji, konkretno pri študiju strukture DNA. Odkrili smo tudi zelo inovativno uporabo teorije vozlov v teoriji magnetnega polja in izvedli raziskave v fraktalni geometriji, ki ima zelo široko uporabnost. Naši rezultati so oziroma bodo objavljani v vodilnih specializiranih mednarodnih matematičnih revijah, ki so visoko na seznamu SCI na področju matematike (Advances in Mathematics, Mathematische Annalen, Mathematical Research Letters, Proceedings of the Royal Society, Transactions of the American Mathematical Society, idr.). Nekatere objave pri založbi Elsevier North-Holland so bile uvrščene med najbolj zahtevane (downloaded) članke (npr. v reviji Topology and Its Applications). Naša projektna skupina je že dobro etablirana na svojem področju in je dobila več domačih in tujih priznanj. Člani naše skupine so prejeli povabila za predavanja na pomembnih mednarodnih konferencah, kar potrjuje menarodno uveljavljenost naše skupine. Povečalo se je zanimanja tujih raziskovalnih institucij za sodelovanje z IMFM, predvsem iz Evropske unije, zato ima naša raziskovalna skupina največje število mednarodnih projektov iz matematike v Sloveniji. Raziskovalno delo na tem področju je imelo tudi pozitiven vpliv na razvoj slovenske matematične šole, s poudarkom na topologiji in geometriji ter njuni uporabi, ter vpetost v svetovno raziskovalno mrežo, posebej v okviru Evropske unije.
Pomen za razvoj Slovenije
Glavni rezultati tega projekta so odkritje zelo pomembnih novih temeljnih zakonitosti in njihova uporaba v matematiki in razširitev obstoječih raziskovalnih orodij v sodobni geometrijski topologiji v dimenziji 3 in njihova uporaba, kot tudi nadaljnji razvoj raziskav na področju matematike na Slovenskem. Dobljeni rezultati se zelo dobro ujemajo z načrti razvoja slovenske znanosti in tehnologije na področju povečanja znanja, to je razvoj znanosti, kot tudi izboljšanje kakovosti podiplomskega študija. Naše raziskave so povezane in nadgrajujejo dosedanje uspešne raziskave na tem področju in se nanašajo na probleme, ki smo jih že uspešno obravnavali z zelo pozitivnim odmevom v številnih mednarodnih raziskovalnih projektih, pri katerih sodelujemo. Kot rezultat naših dolgoletnih prizadevanj je naš inštitut mednarodno priznan evropski center za geometrijsko topologijo nizkih dimenzij in eno pomembnih stičišč strokovnjakov za 3-mnogoterosti. Naše raziskovalno delo je prejelo več domačih in mednarodnih priznanj in pred časom smo bili izbrani med najboljše programske skupine v državi. Nekateri uveljavljeni člani skupine na svojem področju že odločilno vplivajo na smer aktualnega raziskovanja v mednarodnem prostoru. V zadnjem času se vedno bolj uveljavlja tudi mlajša generacija raziskovalcev, ki ji je prav delovanje v okviru programa omogočilo pridobitev potrebnega znanja za uspešno raziskovalno delo. Naša projektna skupina je uspešno sodelovala z gospodarstvom, npr. pri razvoju novih in učinkovitih algoritmov za generiranje diskretnih Morsovih funkcij v računski topologiji, kar se lahko uporabi v radiološki diagnostiki, npr. v CT, scintigrafiji, interni medicine in urologiji. Na teh področjih učinkovito sodelujemo z nekaterimi domačimi podjetji visoke tehnologije, ki so v konici razvoja svojih področij. V prihodnje nameravamo še razširiti delovanje na aplikativnih področjih in se še bolj umestiti v raziskovalnih mrežah znotraj EU. Projekt je imel posebej pozitiven učinek na razvoj podiplomskih študijev v Sloveniji v okviru doktorskih programov matematike na Univerzi v Ljubljani. Pod mentorstvom naših raziskovalcev in vodilnih gostujočih raziskovalcev so mladi raziskovalci in drugi doktorski študenti izdelali svoje disertacije na najbolj propulzivnih temah topologije in geometrije. Pripravili smo sodobne podiplomske tečaje, npr. "Topologija v računalništvu" na Fakulteti za računalništvo in informatiko na Univerzi v Ljubljani, ki je bil zanimiv tudi za druga področjih, posebej medicino.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2011,
2012,
2013,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2011,
2012,
2013,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
