Projekti / Programi
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.04 |
Naravoslovje |
Matematika |
Algebra |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P120 |
Naravoslovno-matematične vede |
Teorija števil, teorija obsegov, algebraična geometrija, algebra, teorija gup |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
Geometrija matrik, linearni ohranjevalci, nelinearni ohranjevalci, simetrije na omejenih opazljivkah, nekomutativni polinomi, centralno enostavne algebre, funkcijske identitete, struktura grup
Raziskovalci (23)
Organizacije (2)
Povzetek
V okviru projekta bomo nadaljevali z raziskovalnim delom na področjih, s katerimi sta se že ukvarjali programski in projektni skupini pod vodstvom Petra Šemrla in Mateja Brešarja. Pridružila pa se nam bosta še mlajša, a že uveljavljena kolega Igor Klep in Primož Moravec. Zato pričakujemo, da se bodo naše raziskave usmerile v nekatere nove smeri, hkrati pa bomo z znanji, ki jih v skupino prinašata nova sodelavca, uspešnejši pri reševanju problemov, s katerimi smo se ukvarjali v zadnjih letih. Glavni poudarek bo na preslikavah na različnih algebrah in njihovih podprostrih (matrične in operatorske algebre in prostori ter bolj splošne algebre in prostori). Te preslikave bodo imele bodisi določene algebraične lastnosti ali pa lastnosti ohranjanja. Glavni cilj je opisati splošno obliko čim širših razredov takih preslikav.
Osrednji problemi, ki se jih bomo lotili, so:
1. Posplošitve Huajevih fundamentalnih izrekov o geometriji matrik. Želimo dobiti optimalne verzije teh klasičnih izrekov in jih v hermitskem primeru razširiti tudi na neskončno-dimenzionalen primer ter s to razširitvijo obravnavati karakterizacijo simetrij na omejenih opazljivkah.
2. Obravnavali bomo končno-dimenzionalne neasociativne algebre. Posebej nas bodo zanimale tiste, v katerih vsak neskalarni element porodi algebro izomorfno algebri kompleksnih števil.
3. Nadaljevali bomo s študijem ohranjevalcev obrnljivosti.
4. V zadnjem času so se pojavili prvi rezultati o splošnih (nelinearnih ohranjevalcih) na matričnih in operatorskih algebrah in prostorih. Upamo, da bomo dobili nove rezultate v tej smeri.
5. Nadaljevali bomo s študijem funkcijskih identitet (FI). Tukaj nameravamo predvsem nadgraditi nabor področij, kjer se FI uporabljajo.
Hkrati se bomo s pomočjo novih mlajših kolegov lotili tudi naslednjih dveh tem iz nekomutativne algebre:
6. Prosta pozitivnost je študij slik polinomov v nekomutirajočih spremenljivkah pod lepimi upodobitvami. V nasprotju s klasično teorijo upodobitev nas zanima predvsem slika enega izbranega elementa prostega algebre (nekomutativni polinom) pod vsemi upodobitvami v izbranem razredu. Ukvarjamo se z različni pojmi pozitivnosti (npr. pozitivna semidefinitnost, pozitivnost sledi, idr.). Naš poudarek bo predvsem na končno-dimenzionalnih *-upodobitvah proste *-algebre z občasnim skokom v končne von Neumannove algebre, ki so potrebne za Connesovo domnevo o vložitvi (več podrobnosti predstavimo spodaj). To teorijo deli v dve veji. Brezdimenzijska veja (kjer se ukvarjamo z upodobitvami v matrikah vseh velikosti) je veliko bolje razvita zaradi dela Heltona s soavtorji in tudi Klepa (skupaj s sodelavci, vključno z Brešarjem). Ta veja teorije je funkcionalno analitičnega značaja. Po drugi strani pa mešanica centralno enostavnih algeber, kvadratnih form in teorije valuacij tvori srž povsem algebraične veje teorije, ki sta ga začela Procesi in Schacher s preučevanjem Albert-Weilovega pojma pozitivnih involucij in ureditev na centralno enostavnih algebrah. Kako se to nanaša na pozitivnost v prosti algebri, sta raziskovala Klep in Unger in študij tega bomo v predlaganem projektu še poglobili.
7. Razvili bomo splošno teorijo funkcijskih identitet v grupah. To teorijo bomo uporabili pri študiju pomembnih razredov grupnih funkcij, kot so kocikli v kohomološki teoriji grup, Liejevi homomorfizmi, funkcije, ki nastopijo v Freimanovi aditivni kombinatorični teoriji, in funkcije, ki so v tesni povezavi s Quillenovo domnevo.
Pomen za razvoj znanosti
Naša raziskovalna skupina objavlja v uglednih mednarodnih znanstvenih revijah. O pomenu za razvoj znanosti pričajo podatki o citiranosti vodje projekta: -normirani citati (1993-2014): 3808 -normirani h-indeks: 27 -število citatov po MathSciNet: 1923 Sodelavec Matej Brešar ima celo nekoliko višjo citiranost. O relevantnosti naših raziskav pričajo še sledeča dejstva: -vodja projkta je bil izvoljen za predsednika International Linear Algebra Society -vodja projekta je glavni urednik revije Linear Algebra and Its Applications, ki je vodilna revija na področju linearne algebre -vodja projekta je član uredniških odborov še dveh znanstvenih revij s faktorjem vpliva -sodelavec Matej Brešar je član uredniških odborov dveh revij s faktorjem vpliva
Pomen za razvoj Slovenije
Matematika je jezik naravoslova in tehnike. Vse uspešne države imajo dobro razvito matematiko. Težko je verjeti, da bi bila lahko neka država gospodarsko in tudi sicer dobro razvita ne da bi imela močno razvite vse naravoslovne znanosti in še posebej matematiko. Delo naše skupine je močno vpeto v mednarodne okvire (vodja projekta ima okoli 40 soavtorjev iz tujine). To je še zlasti pomembno pri vzgoji mladih kadrov in pri promociji naše države v tujini.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2010,
2011,
2012,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2010,
2011,
2012,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
