Projekti / Programi
Algebraične metode v teoriji operatorjev
01. januar 2004
- 31. december 2008
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
funkcionalna analiza, teorija operatorjev, algebra, multiparametrična spektralna analiza, invariantni podprostori, polgrupe, grupe, varietete matrik
Raziskovalci (30)
Organizacije (2)
Povzetek
Študirali bomo operatorje definirane tako na realnih ali kompleksnih Banachovih in Hilbertovih prostorih ter na Banachovih mrežah, kot tudi linearne operatorje na končnorazsežnih vektorskih prostorih, to je matrike, nad poljubnim obsegom. Ukvarjali se bomo z družinami operatorjev, ki imajo še kako dodatno algebraično strukturo, kot so polgrupe, grupe, vektorski prostori, asociativne algebre, Liejeve algebre in se posvetili problemom v zvezi s skupnimi invariantnimi podprostori teh družin. Prav tako je zanimiv problem, kako opisati družine operatorjev kot algebraične podmnožice, t.j., varietete, v afinih in projektivnih prostorih. Nadalje nameravamo prenesti teorijo Banachovih algeber v kontekst Banachovih modulov. Študirali bomo upodobitve Banachovih modulov, razne spektre teh modulov in strukturne topologije na njih ter to uporabili pri razširitvi nekaterih rezultatov iz lokalne spektralne teorije operatorjev iz okvira Banachovih algeber v širši kontekst Banachovih modulov. Naslednji cilj raziskave je študij formalno realnih kolobarjev. Asociativen kolobar je formalno realen če se v njem -1 ne da izraziti kot vsota premešanih produktov kvadratov. Množica ureditev takega kolobarja se imenuje realen spekter, na njej lahko zgradimo nekomutativno realno algebraično geometrijo. Dva osnovna problema v teoriji formalno realnih kolobarjev sta kako konstruirati nove razrede fizikalno zanimivih nekomutativnih formalno realnih kolobarjev in kako določiti strukturo realnega spektra takihkolobarjev. Nadalje bomo raziskovali teorijo ohranjevalcev. Naš cilj je karakterizacija poljubnih (lahko tudi neinjektivnih oz. nesurjektivnih) aditivnih preslikav, ki bodisi ohranjajo idempotente ranga ena, bodisi jih slikajo v nič. Preučevali bomo tudi elementarne operatorje in operatorske neenakosti. Pri tem računamo tudi na nekatere aplikacije v teoriji dvojnih operatorskih integralov. Poleg tega bomo z enostavno operatorsko neenakostjo poskusili karakterizirati obrnljive sebi adjungirane operatorje in to karakterizacijo posplošiti tudi na unitarno invariantne norme in operatorske ideale.
Pomen za razvoj znanosti
Doseženi rezultati so in bodo pomembni za razvoj matematične znanosti. Ker smo se ukvarjali s problemi, ki so bili zastavljeni v okviru širše matematične skupnosti, pričakujemo, da bodo vzbudili pozornost tudi drugje. Rezultati so še posebej velikega pomena za razvoj algebre in njene uporabe v operatorski teoriji. Tako bodo novi rezultati se nekoliko bolj razkrili strukturo nekaterih družin operatorjev. Pomembni bodo v študiju problema invariantnih podprostorov, komutirajočih matrik, simetrij v grafih, realni algebraični geometriji, abstraktni teoriji grup in polgrup in drugje. Veliko naših rezultatov je v znanstveni srenji že vzbudilo zanimanje, pričakujemo, da bo tako tudi v prihodnje. Uspešno smo nadaljevali in poglobili znanstveno sodelovanje v mednarodnem prostoru. Rezultate smo in bomo objavljali v kvalitetnih znanstvenih revijah, predstavljali na mednarodnih konferencah in vabljenih predavanjih po tujih univerzah.
Pomen za razvoj Slovenije
Najnovejše znanstvene rezultate uspešno prenašamo našim študentom in s tem prispevamo k družbenemu in ekonomskemu razvoju. Naši rezultati tvorijo pomemben del slovenske matematične znanosti, ki je fundamentalna za druga področja znanosti. Raziskovanje na področju finančne matematike bo prispevalo k prenosu znanja študentov novega študijskega programa Finančna matematika na Univerzi v Ljubljani. Ta del našega raziskovalnega dela bo imel neposredne uporabe v finančnem sektorju gospodarstva (zavarovalništvo, banke in druge finančne inštitucije). Že sedaj smo zaznali velik odziv v slovenski finančni industriji in drugje.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
