Projekti / Programi
Weissova domneva in posplošitve
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.05 |
Naravoslovje |
Matematika |
Teorija grafov |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
matematika, simetrija, graf, grupa, Weissova domneva
Raziskovalci (17)
Organizacije (3)
Povzetek
Tema predlaganega projekta se umešča v presečišče dveh področij: teorije grup in kombinatorike (še posebej teorije grafov). Obravnava temeljno matematično vprašanje: Kako simetričen je lahko določen matematičen objekt? Koliko simetrij lahko ima? To je precej nejasno formulirano vprašanje in zahteva bolj določen kontekst, če iščemo določnejše odgovore. Vprašanje je bilo deležno precej pozornosti v kontekstu diskretnih struktur ̶ še posebej grafov, kjer je pionirsko in prelomno delo Tutteja o kubičnih ločno-tranzitivnih grafih spodbudilo nadaljnje raziskave, ki so kulminirale v globoki in že dolgo nerazrešeni, še vedno odprti domnevi Richarda Weissa o redu grupe avtomorfizmov končnega povezanega lokalno primitivnega ločno-tranzitivnega grafa.
W
eissovo domnevo, ki je bila postavljena leta 1987, in ki predstavlja enega izmed najbolj znanih odprtih problemov v algebraični teoriji grafov, lahko formuliramo takole:
Za vsako pozitivno celo število d obstaja konstanta c z naslednjo lastnostjo: Če je X povezan končen graf, v katerem ima vsako vozlišče valenco d, in je G grupa avtomorfizmov grafa X, delujoča tranzitivno na urejenih parih sosednih vozlišč grafa X, in je permutacijska grupa, inducirana z delovanjem stabilizatorja H vozlišča v na njegovi okolici (tj. množici njegovih sosedov) primitivna, potem je red H največ c.
Številni globoki in dolgi članki so bili objavljeni odtlej, vsak od njih je dokzal nek poseben primer domneve, vendar se zdi, da bodo za njen dokaz potrebne sveže ideje.
Cilj predlaganega projekta je raziskati številne nove možne pristope v smeri dokaza Weissove domneve. Prvi pristop je najbližji klasičnim metodam, vendar nameravamo v njem uporabiti nedavno dokazane in globoke rezultate s področja lokalne analize in končnih grup. Drugi pristop je popolnoma nov, osnovan je na pozitivni rešitvi omejenega Burnsideovega problema, ki nam omogoča prevesti Weissovo domnevo na dva ločena problema, o eksponentu in rangu vozliščnega stabilizatorja, kadar je lokalno delovanje primitivno. Tretji pristop, ki ga želimo raziskati, je posplošitev (Weissove domneve) na splošnejše vprašanje o (hitrosti) rasti vozliščnega stabilizatorja glede na red grafa (v primerjavi z redom grafa).
Čeprav se dobro zavedamo, da je dokazati 30 let staro domnevo ambiciozen cilj, ki ga morda ne bomo dosegli v času izvajanja predlaganega raziskovalnega projekta, verjamemo, da nam bodo orodja, ki so nam nedavno postala dostopna, pa tudi odlična raziskovalna skupina, omogočili najmanj to, da dosežemo velik napredek v smeri končne razrešitve domneve, obenem pa izboljšamo naše razumevanje simetrij pri grafih.
Pomen za razvoj znanosti
Tema predlaganega projekta je eden izmed univerzalnih konceptov v znanosti: simetrija. Čeprav nameravamo raziskati ta pojem v zelo konkretnem kontekstu, teoriji grafov, bo vsak rezultat, ki ga bomo dokazali na tem področju, na novo osvetlil ta pojem v vsej njegovi splošnosti. Morda bo spobudil nova vprašanja o simetriji na drugih področjih matematike, in odprl nove raziskovalne smeri.
Konkretneje, predlagani projekt obravnava eno najstarejših in najbolj znanih domnev s področja algebraične teorije grafov. Njena dokončna razrešitev bi pomembno prispevala k temu matematičneu področju in bi močno odmevala v matematični skupnosti.
Nadalje, obstajajo številni problemi v teoriji grafov, kjer je obstoj zgornje meje grupe avtomorfizmov grafa koristen.
Kakršen koli parcialni rezultat v smeri dokaza Weissove domneve in predlaganih posplošitev bo priskrbel nove priložnosti za razrešitev teh problemov.
Nazadnje, predlagane posplošitve in novi pristopi, podrobno opisani v predlogu bodo priskrbeli nove tehnike za preučevanje simetrij v grafih; in ker je tema tesno povezana s teorijo grup, tudi za preučevanje teorije končnih grup.
Naši začetni rezultati s tega področja so že vzbudili precejšnje zanimanje v matematični skupnosti, kar je imelo za posledico številna povabila k predstavitvi rezultatov na različnih uglednih znanstvenih srečanjih. Verjamemo, da bodo rezultati, dobljeni v okviru predlaganega projekta, deležni podobne pozornosti.
Pomen za razvoj Slovenije
The theme of the proposed project is one of the universal notions in science: symmetry. Even though we plan to investigate this notion in a very concrete setting, the theory of graphs, any result that we prove here will shed new light on that notion in its full generality. It might raise new questions about symmetry in other areas of mathematics and suggest new lines of research.
More concretely, the proposed project is about one of the oldest and most renown conjecture in the area of algebraic graph theory. Its final resolution would represent a major contribution to this mathematical area and would resonate highly in the community.
Furthermore, there are several graph theoretical problems where existence of an upper bound on the order of the automorphism group of a graph is useful. Any partial result towards the Weiss conjecture and the suggested generalisations will provide new opportunities to tackle these problems.
Finally, the suggested generalisations and new approaches described in detail in the proposal will yield new techniques for studying symmetry in graphs; and since the topic is closely linked to the group theory, also for the study of finite group theory.
Our initial results in this area have already attracted considerable interest in the mathematical community, resulting in many invitations to present the results at several renown scientific meetings. We believe that the results arising from the proposed project will receive similar attention.
