Projekti / Programi
p-eliptičnost v harmonični analizi in parcialnih diferencialnih enačbah
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.01 |
Naravoslovje |
Matematika |
Analiza |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P130 |
Naravoslovno-matematične vede |
Funkcije, diferencialne enačbe |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
eliptične PDE, Littlewood-Paleyjeva teorija, spektralni množitelji, operatorske polgrupe, disperzivne ocene, Schrödingerjevi operatorji
Raziskovalci (6)
Organizacije (2)
Povzetek
Vsebina projekta primarno sega na področje harmonične analize ter parcialnih diferencialnih enačb (PDE). Gre torej za stičišče dveh zelo aktivnih področij sodobne matematike. Jedro našega interesa je pogoj, imenovan p-eliptičnost, ki sta ga l. 2016 v skupnem članku, nedavno sprejetem v objavo v J. Eur. Math. Soc., vpeljala prijavitelj ter njegov sodelavec z Univerze v Genovi, A. Carbonaro. V članku sta med drugim dokazala povezave med tem pogojem in več fenomeni, ki zadevajo Lp teorijo t.i. eliptičnih diferencialnih operatorjev v divergenčni formi. Neodvisno od njiju pa sta skoraj istočasno M. Dindoš in J. Pipher našla pogoj, ki omogoča razširitev De Giorgi - Nash - Moserjevega izreka (ki je brez dvoma eden velikih dosežkov matematike 20. stoletja) na operatorje s kompleksnimi koeficienti. Izkazalo se je, da je njun pogoj ravno ekvivalenten p-eliptičnosti, oz. je njena reformulacija. Prav tako se je naknadno izkazalo, da lahko s pomočjo p-eliptičnosti reformuliramo njej podoben (čeprav ne enak) pogoj, ki sta ga l. 2005 obravnavala A. Cialdea ter V. Maz'ya v kontekstu t.i. Lp-disipativnosti za seskvilinearne forme, ki porodijo eliptične operatorje, ter Lp-kontraktivnosti za pripadajoče operatorske polgrupe. Vse skupaj jasno priča o centralnem pomenu p-eliptičnosti. Primarni cilj projekta bi bil raziskati doseg tega pogoja v harmonični analizi in PDE, oziroma ustvariti enotno teorijo, osredotočeno na koncept p-eliptičnosti.
Poleg p-analitičnosti bi v projektu pozornost namenili tudi drugim matematičnim problemom (disperzivne ocene za Schrödingerjeve operatorje ter analiza Liejevih grupoidov).
Projekt je podrobno predstavljen v priponki (pdf).
Pomen za razvoj znanosti
Obstajajo primeri, ko različni raziskovalci medsebojno neodvisno pridejo do istih rezultatov. Ko gre za p-eliptičnost, so Carbonaro in prijavitelj na eni ter Dindoš in Pipher (oba uveljavljena matematika z zelo uglednih univerz v VB oz. ZDA) na drugi strani neodvisno spoznali, da ravno ta pogoj določa, ali so problemi, ki so jih obravnavali, rešljivi ali ne. Toda skupini sta do teh ugotovitev prišli med obravnavanjem različnih problemov. To priča o tem, da je p-eliptičnost fundamentalen pogoj ter da je njegov potencial za razvoj novih raziskovalnih smeri v harmonični analizi in PDE izjemen. Namreč, že sedaj vemo, da p-eliptičnost identificira skupni imenovalec več različnih analitičnih lastnosti (posplošena konveksnost, bilinearne vložitve, holomorfni funkcijski račun, kontraktivnost polgrup, De Giorgi - Nash - Moserjeva teorija za kompleksne matrike) pri čemer so novi primeri od vpeljave pogoja prihajali eden za drugim. Trdno verjamemo, da s tem nabor primerov, kjer je p-eliptičnost ključni kriterij, ni izčrpan. Med drugim bomo (z novim razširjanjem metode toplotnega toka) raziskali tudi reševanje eliptičnih enačb oz. Cauchyjevih problemov s karseda ohlapnimi predpostavkami na matriko ter domeno problema ter ob različnih robnih pogojih, kar je eno centralnih vprašanj v PDE. Nedvomno bo torej zanimivo nadaljevati z raziskovanjem dosega tega pogoja, kar je ravno primarni cilj aktualnega projekta.
Navedeno je še posebej pomembno za razvoj matematične stroke v Sloveniji, kjer harmonična analiza in PDE nista številčno zastopani, čeprav sta resnično pomembni področji (v zadnjih 25 letih je več prejemnikov Fieldsove medalje, najvišjega svetovnega priznanja za dosežke matematiki, bilo nagrajenih ravno za delo na teh področjih). Z izvedbo projekta bomo torej doseg slovenske matematike razširili oz. ga bistveno okrepili.
Harmonična analiza je propulzivno področje sodobne matematike, s katerim se ukvarjajo raziskovalci na več univerzah v Evropi in ZDA, tudi v naši soseščini, npr. severni Italiji (Genova, Bologna, Milano, Padova, Torino, Bergamo...). V Sloveniji doslej konferenc ali poletnih šol iz tega področja nismo prirejali, torej bo že sama organizacija takšnega dogodka pomenila novost in priložnost za srečanje z odličnimi tujimi matematiki, ki jih tukaj še ni bilo. Takšna priložnost bo še posebno dobrodošla za matematike v začetnih fazah njihovih karier. Ker pa se bomo organizacije lotili skupaj z Univerzo v Zagrebu, na kateri tudi delujejo zelo dobri raziskovalci iz tega področja, bomo tudi na ta način okrepili čezmejno sodelovanje med obema univerzama.
Zdi se, da tujih postdoktorskih raziskovalcev s področja matematike, še posebno matematične analize, na FMF ni veliko, vsaj v primerjavi z razvitostjo podobnih programov v tujini. Če bi uspeli na FMF (ali IMFM) privabiti dobrega tujega kandidata za postdoktorsko pozicijo, kar je eden izmed ciljev projekta, bi stanje na tem področju popravili in po možnosti trend s pozitivnim zgledom dolgoročno obrnili navzgor.
Pomen za razvoj Slovenije
There are cases when different researchers independently arrive at the same result. In the case of p-ellipticity, Carbonaro and the applicant on one side, and Dindoš and Pipher (both accomplished mathematicians at very renowned universities in GB and the US) on the other, independently realized that precisely this condition determines whether the problems they studied were solvable or not. However they did so by studying different problems. This testifies that the condition is a fundamental one, and that its potential impact for the development of new research directions in harmonic analysis and PDE is overwhelming. Namely, we already know that the p-ellipticity identifies the common denominator of several different analytic phenomena (generalized convexity, bilinear embeddings, holomorphic functional calculus, semigroup contractivity, De Giorgi - Nash - Moser theory for complex matrices). These examples kept arriving one after another, following the introduction of the concept. We firmly believe that the list of examples, where p-ellipticity features as the key condition, is not exhausted. Among the rest we will (by extending the heat flow method) also investigate the solvability of elliptic equations and Cauchy problems with as mild assumptions on the matrix and the domain of the problem as possible, and under various boundary conditions, which is one of the central goals in PDE. It will thus clearly be of interest to investigate further the scope of this condition, which is the very goal of this project.
The above is especially important for the development of mathematics in Slovenia, where harmonic analysis and PDE are not represented in high numbers, although these fields are truly important on the international level (during the last 25 years, several recipients of the Fields medal, world's highest recognition for achievements in mathematics, were awarded for work in these areas). The implementation of the project will therefore expand and significantly strengthen the reach of Slovenian mathematics.
Harmonic analysis is a propulsive area of contemporary mathematics with active researchers at many universities in Europe and the US. Until now, we have not organized conferences or summer schools in harmonic analysis, hence the mere organization of such an event will mean a novelty and an opportunity for meeting excellent foreign mathematicians that have never before come to Slovenia. Since the organization will be carried out together with the University of Zagreb, we will in such a way also promote cross-border collaboration between the two universities.
It appears that at FMF there are not many foreign postdoctoral researchers in mathematics, especially mathematical analysis, at least in comparison with the level of development of similar programmes abroad. By attracting to FMF (or IMFM) a promising foreign candidate for the postdoctoral position, which is one of the goals of this project, the situation in this respect would improve. Possibly also the long-term trend would, following a positive example of this kind, turn upward.
